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Hola.

Tengo el siguiente ejercicio pero no se si lo he hecho bien, porque los resultados que obtengo no me parecen lógicos:

Según la física clásica, una carga acelerada e radía a razón dE/dt= -(6πε₀) e²a²/c³.  En este caso, el electrón giraría en espiral en torno al núcleo hasta que colapsa.

a) Encuentre la tasa de giro del electrón dr/dt.

b) El tiempo que tarda en alcanzar el valor r=0 desde r=2×10^-10m

He resuelto así:

a) La energía total del electrón en cada órbita de radio r es:

E=-1/2 Ke²/r , con K la constante eléctrica.

De esta forma: dE/dt= (dE/dr)(dr/dt)=(dr/dt)(1/2Ke²/r²)

Así:

(dr/dt)(1/2Ke²/r²)= -(6πε₀) e²a²/c³ → dr/dt= -4/3 (a²r²/c³)

Pues me pareció un procedimiento lógico.

b) En este pensé que lo más lógico sería resolver dr/dt= -4/3 (a²r²/c³), con las condiciones del ejercicio, pero me encuentro que al tratar de integrar , me sale la forma 1/r, la cual no está definida para r=0.

Sé que este es un ejercicio clásico, pero no lo he encontrado para estudiarlo y saber en qué me he equivocado. Agradecería a quien me ayudara.

Éxitos!!!...

Creo que esta es la solución:

a)

Partiendo de la energía total del electrón en una órbita circular: E=-1/2 (Ke²/r) , se tiene que

dE/dt= (dE/dr)(dr/dt)= 1/2 (Ke²/r²) v_r  (1)

En donde se ha definido la velocidad radial (responsable del colapso) como v_r=dr/dt. Ahora bien, la aceleración centrípeta que tiene el electrón es

a=v²/r , en donde v es una velocidad tangencial.

Que sustituyendo en la tasa de emisión dE/dt= (-1/6πε₀) (e²a²/c³) e igualando con (1) se obtiene :

v_r=dr/dt= 4/3 (v⁴/c³)   (2)

b)

Ahora, suponiendo un tamaño original del átomo de 10^-10m y teniendo en cuenta que por la igualdad de la fuerza eléctrica y la centrípeta

v²= Ke²/rm → v~1,6×10⁶ m/s

Reemplazando esto en (2), se tiene que

v_r=0.32 m/s

Y si se supone una velocidad de caida constante, se llega a un tiempo de

t = 3.08×10^-10 s

Éxitos!!!...

Te aparece lo que se llama una integral impropia. ¿No has probado a hacer el límite cuando r → 0?