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1)ƒ(x) = 2 / (x-1) se pide hallar la derivada ƒ´(-1) y ƒ´(1/2) aplicando la definición

2) Hallar por definición la derivada de ƒ en los puntos indicados

a) ƒ(t) = √(t+2) si t=2
b) g(x) = 3x³ si x= 1
c) h(x) = -x^-2 Si x=2

Por favor sepan disculpar las molestias pero necesito que sea paso por paso. Desde ya mil gracias.

Hola.

Si f(x)=2/(x-1) → f(x+h)=2/(x+h-1)

Así:

f(x+h)-f(x)= 2/(x+h-1) -2/(x-1) = 2·h/[(1 - x)·(x + h - 1)]

→ [ f(x+h)-f(x) ] /h = 2/[(1 - x)·(x + h - 1)]

Tomando el lpimite cuando h→0 (definición de derivada):

f '(x)= 2/[(1 - x)·(x - 1)] = - 2/(x-1)²

Y finalmente sólo tienes que reemplazar la x por el valor que te piden.

Éxitos!!!...

Mil gracias. por tu paciencia.
Pero estaba mirando por qué has puesto esta fórmula
f(x+h)-f(x) y no está
[f(x+h)-f(x)] / h
y porque de x-1 cambia a 1-x tal vez hay algo que no recuerde y se puede hacer

Hola,

No postees (repitas) más mensajes. Espera a que se resuelva este.



Definición derivada (Wiki)



Primero calculó f(x+h)-f(x)   y  luego lo dividió por h (haciendo el límite), luego sí ha hecho [f(x+h)-f(x)] / h



(x - 1) lo ha cambiado por -(1-x)

Mil Disculpas. Gracias por tus respuestas. Disculpa por mi impaciencia,
Escelente

     √(t+h+2)-√(t+2)
lim -------------------- =
              h

Es indeterminado 0/0.

Multiplicamos por √(t+h+2) + √(t+2) numerador y denominador y tenemos en cuenta que (a-b)(a+b) = a² - b²


             (t+h+2) - (t+2)
= lim --------------------------- =
         h·(√(t+h+2)+√(t+2))

                      h                                   1
= lim --------------------- = lim -------------------- =
      h·(√(t+h+2)+√(t+2))           √(t+h+2)+√(t+2)

Cuando h → 0   queda:

            1
= --------------
     2·√(t+2)
                                             1
Si t = 2, la derivada vale     ---------- = 1/4
                                       2·√(2+2)

---

Nota. Esta es la derivada por la derecha, ahora habría que hacerla por la izquierda (en vez de sumar +h hay que poner -h

              f(x±h) - f(x)
f'(x) = lim --------------          +h es derecha; -h es izquierda
       ^h→0      ±h

Si ambos límites da lo mismo es derivable. Esto vale para todas las derivadas siguientes.

h → 0

     3·(x+h)³ -3x³
lim ---------------
           h

Recordar que (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

        3·(x³+3x²h+3xh²+h³) -3x³
= Lim ---------------------------- =
                     h

        3·(3x²h+3xh²+h³)           3·h·(3x²+3xh+h²)
= lim ------------------- = lim -------------------- = lim 3·(3x²+3xh+h²) = 9·x²
                h                                  h

En x = 1, vale 9·1² = 9

La derivada de -x-2 es la derivada de x-2 cambiada de signo

Derivada de 1/x²:

     1/(x+h)² - 1/x²             x² - (x+h)²
lim ----------------- = lim -------------- =
             h                         h·x²·(x+h)²

          x² - (x²+h²+2xh)             -h²-2xh             -h·(h+2x)               -(h+2x)
= lim -------------------- = lim ------------- = lim ------------- = lim ------------
               h·x²·(x+h)²               h·x²·(x+h)²          h·x²·(x+h)²            x²·(x+h)²

Cuando h → 0 queda:

       -2x
= ----------- = -2/x³
        x4

La derivada de -1/x²  es   2/x³


En x = 2 vale  2/8 = 1/4

Muchas Gracias por su paciencia en los detalles. Me va a ayudar para mis estudios.
Disculpe mi ignorancia, hasta siempre.