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I = ∫ sen ((π+x)/3) sen((π-x)/3) sen(x/3) dx  

como seria? .. Gracias..!!!

- Hola, Elías:

                          π+x          π-x          x
Tenemos I = ∫ sen ---- · sen ---- · sen ---  dx
                            3            3            3  

Propongo esta forma: Operamos fuera de la integral.

     π+x        
sen ----  =  sen (π/3 + x/3) = sen π/3 cos x/3 + cos π/3 sen x/3 = √3/2 cos x/3 + 1/2 sen x/3
       3         

     π-x        
sen ----  =  sen (π/3 - x/3) = sen π/3 cos x/3 - cos π/3 sen x/3 = √3/2 cos x/3 - 1/2 sen x/3
       3         

Estos dos primeros factores harán suma x diferencia:

     π+x         π-x
sen ----  sen ----- =  (√3/2 cos x/3 + 1/2 sen x/3) (√3/2 cos x/3 - 1/2 sen x/3) =
      3             3

= 3/4 cos² x/3  - 1/4 sen² x/3

Introducimos el tercer factor:

(3/4 cos² x/3  - 1/4 sen² x/3) · sen x/3  = 3/4 cos² x/3  sen x/3 - 1/4  sen³ x/3 , que es el integrando definitivo:

I = ∫ (3/4 cos² x/3  sen x/3 - 1/4  sen³ x/3) dx   Separamos así:  I = I₁ - I₂

I₁ = ∫3/4 cos² x/3  sen x/3 dx  = 1/4 · (-3) ∫ 3·1/3 cos² x/3  (-sen x/3)  dx = -3/4 cos³ x/3 = I₁

I₂ = ∫1/4  sen³ x/3 dx = 3/4 (-cos x/3 + 1/3 cos³ x/3 ) = I₂
(Aquí tienes detallada la ∫cos³x dx  )

Reuniendo:

I = I₁ - I₂ = -3/4 cos³ x/3 - 3/4 (-cos x/3 + 1/3 cos³ x/3 ) = 3/4 (-cos³ x/3 + cos x/3 - 1/3 cos³ x/3 ) = 3/4 (cos x/3 - 4/3 cos³ x/3) =>

=> I =  3/4 cos (x/3) · (1 - 4/3 · cos² x/3) + C

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