Foros Ciencias Galilei

Al final las encontre y tengo dudas en:

20.        cos x √ctg² x + 1 = √cosec² x - 1
21.        sen² x ctg² x + sen² x = 1
23.        sen² x sec² x = sec² x - 1
        1            1
26.--------  - ------- = 1
    cos² x       ctg² x

29.        sen⁴ x - cos⁴ x = 2 sen² x - 1 = 1 - 2 cos² x
30.        sec⁴ x - 1 = 2 tg² x + tg⁴ x

Apartir del 30 me resultan un poco mas complicado de sacar

Calculamos primero:

                 cos² x             cos² x + sen² x          1
ctg² x + 1 = -------- + 1 = ----------------- = -------- = cosec² x
                 sen² x                 sen² x              sen² x

Hacemos la raíz:

√ctg² x + 1 = √cosec² x = cosec x

Ahora por cos x:

cos x · cosec x = ctg x

Vamos a ver el otro lado de la igualdad:

                              1                        1 - sen²x          √1 - sen²x
√cosec² x - 1 = √(---------- - 1) = √(-------------) = ------------- =
                             sen² x                     sen² x              sen x

= cos x/sen x = ctg x   (igual que el lado izquierdo)

Del ejercicio anterior  (ctg² x + 1) = cosec² x

sen² x ctg² x + sen² x = sen² x·(ctg² x + 1) = sen² x · cosec² x = 1

sen² x sec² x - sec² x = - 1

sec² x - sen² x sec² x = 1

sec² x - sen² x sec² x = sec² x·(1 - sen² x) = sec² x·cos² x = 1

    1           sen² x         1 - sen² x        cos² x
--------- - ---------- = ------------ = ---------- = 1
 cos² x       cos² x            cos² x          cos ² x

 sen⁴ x - cos⁴ x =   (sen² x + cos² x)·(sen² x - cos² x) = 1·(sen² x - cos² x) =

= sen² x - (1 - sen² x) = 2·sen² x -1 = 2·(1 - cos² x) -1 = 1 - 2 cos² x