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Hola y buenas noches, no se si podrían ayudarme con esta integral, en mi curso de análisis matemático 2, no pude resolverlo, aun soy nuevo en esto, gracias por la ayuda al menos una guía para poder resolverlo.

∫x²√3-x dx

Hola,

Por partes:

u = x²                        du = 2x dx

dv = √3-x dx      v = -(3-x)^3/2/(3/2) = (-2/3)·(3-x)^3/2

∫x²√3-x dx = (-2/3)·x²·(3-x)^3/2 + (2/3)·∫(3-x)^3/2 ·2x· dx =

= (-2/3)·x²·(3-x)^3/2 + (4/3)·∫(3-x)^3/2·x· dx =

De nuevo por partes:

u = x                        du = dx

dv = (3-x)^3/2 dx          v = (-2/5)·(3-x)^5/2

=  (-2/3)·x²·(3-x)^3/2 + (4/3)·[-x·(2/5)·(3-x)^5/2 -(-2/5)· ∫(3-x)^5/2 dx =

=  (-2/3)·x²·(3-x)^3/2 + (4/3)·[-x·(2/5)·(3-x)^5/2 -(-2/5)· ∫(3-x)^5/2 dx] =

= (-2/3)·x²·(3-x)^3/2 - (8/15)·x·(3-x)^5/2 + (8/15)· ∫(3-x)^5/2 dx =

= (-2/3)·x²·(3-x)^3/2 - (8/15)·x·(3-x)^5/2 + (8/15)·(2/7) (3-x)^7/2 =

= (-2/3)·x²·(3-x)^3/2 - (8/15)·x·(3-x)^5/2 + (16/105)·(3-x)^7/2 + Cte

Operando debería dar:

∫x²√(3-x)dx

Otra foma de hacerlo "sin partes"

∫x²√3-x dx

3-x = t²   ⇒    -dx = 2tdt

Reemplazando

∫(3-t²)².t(-2tdt)

(a-x)² = (x-a)²

Acomodando

∫(-2t²)(t² - 3)² dt


∫(-2t²)[t⁴ - 6t² + 9] dt

∫-2t⁶dt + ∫12t⁴dt - ∫18t²dt

(-2/7) t⁷ + (12/5) t⁵ - (18/3) t³ + C

Reemplazando t = (3-x)^1/2

(-2/7) (3-x)^7/2 + (12/5) (3-x)^5/2 - 6 (3-x)^3/2 + C

Gracias por las respuestas, me sacaron de dudas :) , la última se me hace más entendible.

Esta forma (Marlon) es más apropiada que por partes.