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Buenas tardes:
estoy haciendo ejercicios de trigonometría y me he encontrado con este que no sé por donde empezar ¿alguna pista ? Gracias

5 sen π -7 cos 3π/2 - sec² 210 =

-Hola, Ratoncillo.

Antes de hacer cálculos trigonométricos, hay que determinar si trabajas en grados sexagesimales o en radianes. Asumimos que si aparece π (pi) se trata de radianes, y si tenemos valores enteros, son grados. El cero se puede considerar gados o rad.

Parece que los ángulos están mezclados en cuanto a las unidades:  5 sen π -7 cos 3π/2   traen los ángulos en radianes.
sec² 210 lo tiene en grados. Más claramente, sec² 210º.

La conversión entre rad y grados es:  2π rad = 360º; también, sus mitades: π rad = 180º
Puedes hacer las reglas de tres que quieras, así:

  π rad          x
-------- =  ------ => x = 210*π/180 = 7π/6 rad  ;  
  180º         210º

entonce sec² 210º =  sec² (7π/6 rad)    la calculadora te tiene que dar lo mismo, siempre que le indiques en qué uds introduces los ángulos (R ó D ó algo similar como rad/deg).
Ahora todo depende de cuánto sepas de trigonometría.

5 sen π = 5 * 0 = 0

7 cos 3π/2 = 7 * 0 = 0

                      1                    1                      1                      1
sec² 210º = ---------- = ---------------- =  -------------- = ------------ = 4/3
                 cos² 210      cos² (180+30)         (- cos 30)²          (√3/2)²  


Luego la solución es 0 -0 - 4/3 = -4/3

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Trigonometría: Formulario Foro Galilei.
Reducción de razones al primer cuadrante:

Muchas gracias por tu explicación.Me queda claro excepto una cosilla.

Cuando calculas sec² 210º  no entiendo bien el paso del denominador cos² (180+30) a (-cos² 30)²



Un saludo.

Puedes escribir (cos 210)² ó  cos² 210, es lo mismo, pero:

   (cos 210)² = cos² 210 ≠ cos 210²

Siempre que te den un ángulo "grande", seguro que lo puedes descomponer en alguno de los principales más o menos otro conocido, así:

 210º = 180º + 30º
 150º = 180º - 30º
 315º = 360º - 45º , etc.

En los principales 0º, 90º, 180º, 270º y 360º, el seno y el coseno valen 0 ó ±1, y el valor definitivo dependerá del valor de la parte menor, que seguramente será 30º, 45º, 60º. (Piensa en todas las combinaciones de los "principales" con los "conocidos").

Puedes seguir dos caminos: el gráfico o el analítico; este último es más seguro, y te exige conocer las expresiones de seno, coseno, tangente de la suma, diferencia de ángulos (sí, seis fórmulas, pero mucho más manejables de lo que parecen):

En este caso:  cos² 210 = (cos 210)²  : Que se espere el cuadrado, trabajemos con cos 210

cos 210 = cos (180 +30), que es coseno de la suma. su fórmula es:

  cos (a + b) = cos a * cos b - sen a * sen b, y la aplicamos:

  cos (180 +30) = cos 180 * cos 30 - sen 180 * sen 30; en cualquier tabla verás que cos 180 = -1, sen 180 = 0, luego es:

  cos 210 = - 1* cos 30 - 0 = -cos 30.

Dándole el cuadrado:  cos² 210 = (- cos 30)² = (- √3/2)² = 3/4

Como realmente la expresión era sec² 210, al ser sec x = 1/cos x, acaba resultando 4/3.

Forma gráfica:

En la figura vemos que a 210º son 180º más 30º, y dibujamos además el de 30º en su primer cuadrante. Por simetría, el coseno de 30º y el de 210º son los segmentos en rojo y en azul respectivamente (considerando que el radio =1). Miden lo mismo, pero son de distinto signo, luego:
cos 210º = - cos 30º

Aquí lo explica bien Galilei:

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Las fórmulas:
sen(x ± y) = sen x cos y ± cos x sen y
cos (x ± y) = cos x cos y ∓ sen x sen y
tg (x ± y) = (tg x ± tg y)/(1 ∓ tg x tg y)

Hola:
muchas gracias, por las explicaciones, voy entendiéndolo ,aunque todavía tengo algunas dudillas.

En este ejercicio, hay algo que no me cuadra:

cotg (-60)=cotg 300= -cotg (360-300)= cotg 60= 1/2:√3/2=1/√3

si tenemos que cotg (-α)=-cotg (α)   no sería igual a       -cotg 60           y como resultado final     -1/√3



Un saludo.

- Hola:

Si te fijas, en este paso pierdes el signo negativo, pues 360-300=60 es obvio.
 cotg (-60)= cotg 300= -cotg (360-300)= - cotg 60= - 1/2:√3/2= - 1/√3

Y a ver qué te parece esta demostración de que tg -α = - tg α :
             
                                  tg 0 - tg α             0 - tg α         - tg α
    tg -α = tg (0 - α) = --------------- =  ------------- = ---------- = - tg α
                                1 + tg 0 · tg α         1 + 0·tg α           1  


(y, por tanto,  cotg -α = - cotg α)

Venga.

Muchas gracias Etxeberri.
Saludos.