Foros Ciencias Galilei

Hola, encantado de participar en el foro.

Creo no haber visto nunca una explicación detallada para el dominio de y=x^x; simplemente que Dom(f) = ℝ⁺ (un programa como Derive no dibuja la función en ℝ^-).

Es cierto que si tenemos x= -1/2 =>
         
                    f(-1/2) = (-1/2)^-1/2 = 1 / (-1/2)^1/2 = 1 / √-0,5 ∉ ℝ
         

Pero si tenemos x=-2 =>

                     f(-2) = (-2)^-2 =  1/ (-2)²= 1/4 ∈ ℝ

¿Esta disparidad hace que se tome por convenio que Dom (f) = (0, +∞) ?

Muchas gracias.

Hola Etxeberri,

Gracias no sólo por colaborar sino por interés que te tomas en que las respuestas queden clarísimas y lo rápido que has sido en coger el truqui al foro.

En cuanto a la cuestión que planteas yo creo que es que entre cada dos puntos donde la función está definida hay infinitos donde no lo está (me refiero a R^-, claro). Me imagino que la gráfica sería un conjunto de puntos aislados (infinitos).

Estoy mirando por ahí pero no encuentro nada interesante. A ver si hay alguna opinión más certera de algún matemático.

Gracias por tu bienvenida, Galilei.
La cuestión del dominio de y=x^x :
Una Casio fx-82ES calcula perfectamente (-1/3)^(-1/3)= -1.44224957
Pero el Derive 6 devuelve el complejo 0.7211247851 - 1.249024766·i  
                                                                                                                                                         1
Operando unos pasos previos a mano, sale sin problema el valor de la calculadora: (-1/3)^-1/3 = 1/(-1/3)^1/3 =  --------
                                                                                                                                                     ³√(-1/3)
y esa raíz cúbica tiene valor real.

Pero por otro lado, si tomara logaritmos para bajar el exponente:
        
k = (- 1/3)^-1/3 => ln k = ln (-1/3)^-1/3 => ln k = -1/3 ln (-1/3) , que no existe.

Encuentro mucha disparidad de resultados y por eso pienso que habrá algún convenio para que las exponenciales de base no constante (no e^x, etc.) tengan Dom (f)= (0, +∞).
(con irracionales negativos, la Casio y el Derive dan complejo; bueno, la calcu "peta"). En fin, muchas dudas. Pero f(x)=x^x no es inhabitual en Bachillerato.

Gracias por tu amabilidad y tu generosidad, Galilei. Encantado de haber parado aquí.

Hola,

Probando con Wolfram me ha salido esto:

x^x desde -3 a 1

Esta es la gráfica de y=x^x entre -4 y 1 hecha por el Wolfram. Parece claro que sólo es real en los valores enteros de x (x∈ℝ^-).

Y menudo bicho el Wolfram. Le he preguntado por "Universe mass"... y me ha respondido  .

Gracias por la ayuda, Galilei.

Estimados amigos: al hilo de este tema, he pensado sobre una pregunta que sería similar a la planteada: ¿por qué las potencias de base negativa no están definidas en los logaritmos?
Existen potencias de base negativa que podemos calcularlas, pero sin embargo decimos que cuando tenemos una base negativa, el logaritmo respectivo no existe.
Me planteo si esto es debido a que no podemos asegurar que todas las bases negativas tengan una potencia real y por ello se opta por excluir a todas las bases negativas del cálculo.
Es mi opinión pero no estoy seguro de ella, por lo que la someto a vuestro criterio.

Hola, buenas tardes.

Mi nombre es Javi y soy estudiante de 4º de Licenciatura en Matemáticas.

Voy a daros mi opinión, según lo que yo he aprendido. No obstante si sigue la cosa así no dudaré en consultar con mis profesores.

Llevo unos cuantos días pensando en la pregunta inicial de este comentario. Pero me gustaría apuntar varias cosas que van unidas.

En primer lugar, cuando se pide el dominigo de definición de una función, lo que normalmente se hace es pensar el "sitio" donde esta función tiene definición, o lo que es lo mismo, el conjunto de números que puede tomar.

Yo lo que suelo empezar haciendo es separar por casos: estudio que pasa con los números positivos ( (0,inf) ), luego los negativos ( (-inf,0) ), luego el  0 ...

Pero he observado que la pregunta inicial tiene mucho más de fondo, de hecho me ha hecho dudar en cosas que jamás me había parado a pensar.

Voy a exponeros un poco lo que he pensado y las dudas que se me han planteado.

Por definición, la función exponencial f(x)=a^x está definida sólo si a>0 (puede que no haya problemas si cojo un número negativo y la calculadora nos dé una solución, pero también nos da la solución 0⁰=1 y es falso, es decir, puede que no esté definida realmente aunque la calculadora tenga un algoritmo para devolver el número)

Por tanto, si pensamos de esta manera me evito tener que estudiar qué pasa cuando x∈(-inf,0]; sin embargo, cuando x∈(0,inf) ocurre lo siguiente:

a.- Si x∈ℕ no hay problema: 1¹, 2²

b.- Si x∈ℚ veamos qué pasa:

    Como tenemos un número racional, lo podemos poner en forma de fracción (por definición de número racional), por tanto, nos queda algo del tipo

(1)
y tenemos que tener cuidado con el signo del radicando (lo que va dentro de la raíz) y con el índice de la raíz.

Si el índice es impar, no hay problema, pues las raíces con índice impar no tienen problemas

Si el índice es par, puede haber problemas en caso de radicando menor que cero

Observamos que a/b era el racional del que partíamos y era postivo, (también lo era a, porque partíamos de un número positivo que pasabamos a fracción por ser racional) por tanto todo es positivo y no hay problemas de definición.

Por tanto, sólo nos queda una cosa donde me surge una pregunta.

¿Qué respondo en el caso x∈ℝ-ℚ? es decir,

si x es irracional, qué pasa, porque no se si puedo elevar a un número irracional. Creo que sí, pero este es mi razonamiento:

Cuando elevamos a un número decimal (racional) lo entendemos como que pasamos ese decimal a fracción y transformamos en raíz, como (1)

Pero si estoy elevando a un número irracional, no lo puedo pasar a fracción (por definición, este tipo de número no se puede expresar como fracción)
entonces no se cómo entender esto.

Por tanto diría que Domf = (0,inf), con la salvedad de entender lo último que dije.

Además surge otra pregunta, ¿por qué a>0, es decir, la base > 0?

Me gustaría saber qué opinais de esto. Para que veamos que muchas veces con una cuestión aparentemente rápida, en su estudio, cuando se van diviendo el problema para estudiarlo por partes y sacarlo más fácilmente, surgen preguntas.


Por tanto quedaría resolver:

-Cómo entender a^x, a<0
-Cómo entender exponentes ∈ℝ\ℚ

Si en un caso no somos capaces de resolverlo preguntaré a mis profesores, ellos son doctores en matematicas y catedraticos y seguro que nos responden.

Muchas gracias
Javier

Hola Javimat:

Has hecho un planteamiento clarísimo y me ha servido de mucho. Además has puesto el dedo en una llaga que yo venía trayendo desde algún tiempo. ¿Cómo se entiende una potencia en la que la base es negativa y el exponente es un número irracional? Las calculadoras dan error al intentar hacer (-2)^π pero yo voy al concepto, es decir, ¿cómo se interpreta este tipo de operaciones?.

Si vas a preguntar a tus profesores, yo por aquí me quedo esperando para resolver el enigma.

Muchas gracias por anticipado.

Hola,

estoy por aquí con una respuesta convincente sobre este tema que tantas dudas nos ha hecho tener a tantos.

He escrito a un profesor el cual me ha enviado una respuesta, que además explica mucho más.

Pero para no liarnos (hay cosas que yo tampoco entendí) voy a comentar mi opinión.

Primero, entiendo que la función f es real de variable real. A continuación, tenemos que decir que las potencias de base negativa no todas son reales, por tanto se define la función exponencial, de base positiva y exponente real (caso particular del nuestro) porque esta función es continua, derivable... en (0,inf) pero en  a<0 esta función es un conjunto de puntos, una nube (existe una solución real para algunos puntos, para otros es imaginaria...) entonces, como a nosotros las funciones que nos interesan no son esas, porque no son continuas, por tanto no son derivables.... y pierden todo interés, lo que hacemos es definirla en positivo.

En el caso de los exponentes irracionales, si queda entendido como funciona un exponente racional, lo único que hay que decir, es que un número irracional no se puede expresar como fracción, pero hay algo interesante y es que se puede dar una aproximación, así ya entenderíamos esa pontencia como otra.

Un saludo,
Javi

Hola a todos,

Me he estado planteando dudas de este estilo (¿raíz con radicando negativo e índice irracional? ¿potencia de base negativa y exponente irracional?) y, buscando por Google, he llegado hasta aquí. Aunque la última respuesta es de hace medio año, me gustaría aportar mis relfexiones y ver si se puede discutir esto un poco más.

Yo, como Javimat, también estudio matemáticas. No estoy en 4º de licenciatura, ahora además estoy en el grado (plan Bolonia), pero llevo tres años y estoy en el periodo intermedio. En realidad, creo que esto tanto da, sencillamente con hacerse ciertos planteamientos matemáticos y que te guste resolver rompecabezas, más alguna noción de álgebra o análisis, es para mí suficiente, sin importar si llevas 1, 3 años o sólo eres un aficionado. Vayamos al grano.

En su día me pregunté cómo se definía la potencia de base positiva con exponente real, más concretamente, ∈ℝ-ℚ (tanto me da trascendentes como algebraicos, porque ambos son irracionales y no se pueden expresar como fracción, por lo que no podemos hacer raíz y luego potencia o viceversa). Habiendo aprendido que todo número real es un punto de acumulación, y habiendo aprendido después que ℝ=adherencia(ℚ), es decir, que para todo número real existe una sucesión inyectiva de números racionales convergente en dicho punto, mi pregunta quedó resuelta:

   Sea a>0 real; entonces la función ƒ:(0,+∞) -> ℝ, ƒ(x)= a^x, es continua.

Eso nos basta para ver que, si tomamos x∈ℝ y {x_n}_n∈ℕ una sucesión de números racionales tal que x_n→x cuando n→∞, como ƒ es continua,

   a^x = lim_n→∞a^x_n,

en donde la sucesión a^x_n queda bien definida puesto que x_n∈ℚ.
Un ejemplo claro de esto que he dicho está aquí: , en el apartado 3-Potencias de exponente irracional hay una bonita tabla de ejemplo para 2^π.

Yo creo que de aquí, Javi, viene lo de la obtención del resultado por aproximación. Conceptualmente, podemos dar sentido así a la potencia de exponente irracional, con base positiva.

Ahora bien, yo sigo teniendo dudas con las bases negativas. Sí, son problemáticas y nos podemos conformar con que las funciones f(x=)x^x y g(x)=a^x sólo las podemos definir para bases positivas (estrictamente el el caso de la primera).

Siguiendo el mismo método arriba expuesto, me he planteado resolver la cuestión con otra sucesión de números racionales. Si tenemos un número real x elevado a un número racional a/b, si x es negativo lo podremos resolver, dentro de ℝ, si b es un número impar. Así, si tuviéramos
   (-2)^π,
teniendo una sucesión
   {x_n}_n∈ℕ
de números racionales que tenga por límite π, quizá la sucesión a^x_n nos dé problemas, porque, denotando
   x_n=a_n/b_n,
quizá los b_n vayan siendo alternadamente par e impar; entonces la sucesión a^x_n no quedaría definida y no podríamos construir esa potencia. Quizá esto sea otra forma de ver lo de la discontinuidad de la función que el profesor le explicó a Javier.

Bueno, esto es lo que tengo hasta ahora, seguiré pensando más en el asunto y, si llego a algún resultado mejor, lo comunicaré. Muchas gracias a todos y un saludo,

Paloma.