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Hola a todos nuevamente... necesito de vuestra ayuda para resolver el siguiente ejercicio

Sea P₂ el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 2
Investigue si alguno de los siguientes conjuntos es una base de:

A = {x+2, x-2, x²}

B = {-x²+2x-1, 2x²+2, -3x}

En caso de que alguno de ellos haya sido base, encuentre las coordenadas de
P(x) = x² + 2x + 1 en ella

Gracias

Hola,

Para ser base deben ser generadores e independientes:

Tomamos cualquier polinomio de grado 2:

Vamos a probar que son generadores. Cualquier polinomio, px² + qx + w, se puede poner en función de ellos.

px² + qx + w = a(x+2) + b(x-2) + cx²

px² + qx + w = cx² + (a+b) x + 2a - 2b

c = p

a+b = q

2a-2b = w      a-b = w/2

Para calcular 'a':

a+b = q
a-b = w/2
-----------------
2a = q + w/2             a = q/2 + w/4

Para encontrar b:

a+b = q
-a+b = -w/2
-----------------
2b = q - w/2              b = q/2 - w/4

Luego son generadores ya que dado cualquier vector se puede expresar como una combinación lineal de ellos.

Para ver que son indepencientes tomamos p = q = w = 0 y tenemos que probar que a, b y c son nulos.

c = p = 0
a = q/2 + w/4 = 0
b = q/2 - w/4 = 0

Luego son independientes. Al ser generadores e independientes son base.

p = 1
q = 2
w = 1


a = q/2 + w/4 = 1 + 1/4 = 5/4

b = q/2 - w/4 = 1 - 1/4 = 3/4

c = p = 1


Así:

{x+2, x-2, x²}

x² + 2x + 1 = (5/4)(x+2) + (3/4)(x-2) + 1·x²

Nota: Completa tu perfil. Gracias.

gracias