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Evaluar las siguientes integrales:

∫16x³/(4x²-4x+1) dx

∫2y⁴/(y³-y²+y-1) dx

Sólo voy a hacer una porque el procedimiento es similar para la otra.

∫16x³/(4x²-4x+1) dx

Primero hay que dejar la fraccion de tal forma que el numerador tenga menor grado que el denominador. Para ello hacemos la división larga, obteniendo:

x³/(4x²-4x+1)=1/[8(2x-1)²]+3/[8(2x-1)]+x/4+1/4

Integrando:

∫16x³/(4x²-4x+1) dx=∫dx/[8(2x-1)²] + ∫3/[8(2x-1)] dx + ∫x/4dx + ∫1/4

=1/[16·(1 - 2·x)] + 3·LN(2·x - 1)/16 + x²/8 + x/4 + C

En donde las integrales salieron de hacer el cambio de variables u=(2x-1).

Éxitos!!!...

P.D. Dale una mirada a esto, posiblemente en la segunda te salgan fracciones de este tipo: Fracciones Parciales (Wiki)

Buenas, no entiendo este paso:

x³/(4x²-4x+1)=1/[8(2x-1)²]+3/[8(2x-1)]+x/4+1/4

Si me lo pudieras explicar, te lo agradecería un montón.

Dividendo el polinomio
∫[(4x+4)+ (12x-4)/(4x2-4x+1)]dx
Separamos las integrales
∫(4x+4)dx + ∫(12x-4)/(4x2-4x+1)]dx
∫4xdx + ∫4dx + [∫(12x-4)/(2x-1)2)]dx
2x2 + 4x +          ……… (1)
Integrando por fraccione parciales
∫(12x-4)/(2x-1)2)dx = ∫adx/(2x-1) + ∫bdx/(2x-1)2 …………(2)
Eliminados las integrales
  (12x-4)/(2x-1)2)    = a/(2x-1) + b/(2x-1)2
  (12x-4)/(2x-1)2)    = a*(2x-1) + b/(2x-1)2
          12x - 4          = a*(2x-1) + b
Por Semejanza de polinomios
12x = 2ax
-a + b = -4
Resolviendo este sistema de ecuaciones
 a = 6 y b = 2
Reemplazando en (2)
∫(12x-4)/(2x-1)2)dx = ∫6dx/(2x-1) + ∫2dx/(2x-1)2
                            = 3∫2dx/(2x-1) + ∫2dx/(2x-1)2
                            =3ln(2x-1) – 1/(2x-1)
Donde: u = 2x-1
Reemplazando en (1) el resultado pedido es:
2x2 + 4x + 3ln(2x-1) – 1/(2x-1) + c

∫2y4/(y3-y2+y-1) dy
Dividendo el polinomio
∫[ (2y+2) + 2/(y3-y2+y-1)]dy       
Separamos las integrales
∫(2y+2) + ∫2/(y3-y2+y-1)dy
∫2y+∫2 + ∫2/(y+1)2(y-1)dy
y2 + 2y +……………. (1)
Integrando por fraccione parciales
∫2/(y-1)(y2+1)dy = ∫ady/(y-1) + ∫(by+c)/(y2+1)dy ………….(2)
Eliminados las integrales
2/(y-1)(y2+1)    = a/(y-1) + (by+c)/(y2+1)
2/(y-1)(y2+1)    = a*(y2+1) + (by+c)*(y-1)
              2                  =  a*(y2+1) + (by2-by+cy–c)
Polinomios idénticos
 a + b =0
 c – b =0
 a – c = 2
Resolviendo este sistema de ecuaciones
  a = 1
  b = -1
  c  =-1
Reemplazando en (2)
∫2/(y-1)(y2+1)dy = ∫1dy/(y-1) + ∫(-1y-1)/(y2+1)dy
                                  = ln(y-1) - ∫(y+1)/(y2+1)dy
                        = ln(y-1) - ∫y/(y2+1)dy - ∫1/(y2+1)dy
                        = ln(y-1) - ∫y/(y2+1)dy - 1∫/(y2+1)dy
                        = ln(y-1) – [1*ln(y2+1)]/2 –arctg(y)
Donde: u = y-1  y v = y2+1
Reemplazando en (1) el resultado pedido es:
y2 + 2y + ln(y-1) – [1*ln(y2+1)]/2 –arctg(y) + c

Muchas gracias. Lo he entendido.