Foros Ciencias Galilei

r=   x = y-z+2
     2x+z = 1

s=   ax+y+z = a-1

Se piden los valores de "a" para que  r y s esten contenidos.

-Hola, Diotar. Se entiende que r es una recta que debe estar contenida en el plano s indefinido.

Quizá la forma más clara sea resolver el sistema de los tres planos (la recta aporta dos, s es el tercero). Como la solución debe ser la recta r, el sistema debe ser compatible indeterminado, con 1 grado de indeterminación; esto es:

-Si fuera SCD, los tres planos se cortarían en un punto, cosa que no queremos.
-Siendo SCI, si hay 1 grado de indeterminación (o de "libertad"), se debe a que:
       nº incógnitas=3 , rangos=2 => 3-2=1 grado=> recta.
-Si fuera SCI con 2 grados de indeterminación, sería:
       nº incógnitas=3 , rangos=1 => 3-1=2 grados => plano; no lo queremos.

Así que buscamos que el sistema sea SCI. Seguimos el procedimiento habitual:
x -y+z = 2
2x + z = 1       =>
ax+y+z = a-1
Tenemos que |A|= 3-a

Que se anula para a=3. Y es lo que queremos para rebajar el rango hasta 2. Por ahora es necesario que a=3. En tal caso hay que comprobar que A toma rango 2, y es así es: el menor de la esquina superior izquierda es

|1 -1|
|2  0|  = 2 ≠0 => Rg(A)=2 . Pero A* debe tener también rango 2 para que el sistema sea compatible. Como A* podría alcanzar rango 3, hay que impedirlo:

A* tiene dos menores de orden 3. Uno es |A|, y el otro es el obtenido al eliminar una columna de A e incorporar la 4ª columna, es decir:
. Se han tomado las columnas 1ª, 2ª y 4ª de A*, y sustituyendo a=3. Este determinante vale siempre 4; 4≠0, no hay forma de anularlo. Con lo cual el sistema no podrá ser compatible indeterminado.
El plano s no puede contener a la recta r, cualquiera que sea el valor de a

Gracias por la solucion