Foros Ciencias Galilei

El arco de St. Luis tiene una altura de 192 m. Supongamos que un atleta de 60 kg, salta de la parte más alta del arco con una banda elástica atada a sus pies y alcanza justo el suelo con velocidad cero. Determinar su enería cinética a los 2 segundos del salto. (Suponer que la banda elástica obedece la ley de Hooke y despreciar la longitud natural).

---

Mi respuesta que no coincide con el resultado del libro:


La energía total será la potencial gravitatoria del atleta subido al arco:

Ep = m x g x h = 60 x 9,8 x 192 = 112896 J

como la energía es constante, esta calculada debe de ser igual a E_total:

E_total= (1/2) x k x A², de esta expresión despejamos K y nos da 6,125 N/m.

W²= K / m ; W= 0,31 rad./s.

X(t) = 192 x Cos (0,31 t);           X(t = 2s ) = 154,11 m

Ec = E_total - U = 112896 - (1/2) x K x (154,11)² =
40161,9 J

El resultado del libro es = 10,1 KJ,  ¿en que he fallado?


Gracias.

Ec = Etotal - Ug - Um = 112896 - (1/2)·6,125·(111,56)² - 60·9,8·111,56 ≈ 9184 J

He comprendido todo el planteamiento, pero al tomar como U=0 , la parte de arriba del puente, cuando esta el atleta a Y = -111,56 m , la energía gravitatoria no sería negativa?  

(Tengo un lío con la Ug y Um que no veas)

Y otra cosa:

Si hallaramos la energía cinética por la expresión Ec= 1/2 m V²

V(t=2)=  192 x 6,125 x cos (0,31 x 2) = 957,12 m/s

Ec= (1/2) m V² = (1/2) x 60 x (957,12)² = 27482360,83 J  ??????

Donde esta el error?

No es facil explicar esto. A ver si lo consigo.

Cuando decimos que la energía potencial de un resorte es ½·K·x² es en ausencia de cualquier campo gravitatorio:

F = m·a ⇒ -K·x = m·d²x/dt

que da como ecuación del movimiento x = A cos (wt + φ) y que se demuestra que el sistema masa-resorte tiene una energía potencial elástica igual a ½·K·x² ¿Dónde está el peso y la energía potencial gravitatoria en todos los cálculos del MAS?. No está. ¿Por qué? Porque al colocar la masa sobre un resorte su longitud aumenta hasta compensar el peso y alcanzar una posición que es la que se toma como de equilibrio. Es por ello que esta posición no es la del muelle sin estirar (como debería de ser) sino la alcanzada una vez colocada la masa. De esta forma no tenemos que considerar el peso del cuerpo y sólo tenemos en cuenta la fuerza del muelle F = - K·x. (el peso ha sido ya contrarrestada por el alargamiento del muelle).

En nuestro caso este es el problema, que tenemos que considerar la fuerza peso y la fuerza de la cinta elática. Esto complica los cálculos de manera considerable. Cuando el atleta se tira hay dos fuerzas que actúan sobre él: el peso (hacia abajo) y la elástica (hacia arriba). Tendríamos que considerar las energías potenciales gravitatorias y elásticas.

Hay una manera de solucionar esto y es considerar que la goma tira desde el centro del recorrido (h/2) de manera que cuando atleta está por encima de esa altura la única fuerza que actúa es la del muelle (hacia abajo) y cuando está por debajo de h/2, el elástico tira hacia arriba (entonces no consideramos el peso ya que éste ha sido compensado por la nueva posición de equilibrio que hemos tomado). Hemos cambiado la posición de equilibrio (con elástico y gravedad) desde lo alto del puente a una posición intermedia entre el puente y el suelo. De esta manera no tenemos que considerar la gravedad y sus consecuencias.

Es evidente que si fijas el resorte a una altura h/2 y tiras de él hacia abajo, hasta el suelo, volverá a pasar por ese punto con energía cinética (hacia arriba) y por inercia alcanzará una altura h desde el suelo, donde se parará y, de nuevo,  volverá a caer repitiendo el ciclo.

Se demuestra que este cambio de la posición de equilibrio no afecta al periodo, frecuencia, etc del movimiento. Lo único que se modifica es la posición (trasladada h/2 más abajo). La cte elástica y frecuencia angular son las que has calculado.

Es facil probar que esta nueva posición de equilibrio se desplaza x = F/K = mg/K = h/2 = 96 m

Si despejas K de lo anterior te quedará 6,125 N/m como habías calculado y la ω = 0,32 rad/s.

Ahora viene otro problema. Cómo saber la velocidad 2 s después de haberlo soltado (sin considerar ya el peso). La única manera de introducir el tiempo es recurrir al concepto de impulso:

I = ∫ F(t) · dt = ∆P = mv - mv_o 　　(v_o = 0)

donde F(t) = K·x(t) =  K·A·cos (ω·t)

Ten en cuenta que A = h/2 = 96 m. Para t=0, y(0)=A·cos (w·0)=A=h/2. Medido desde h/2.

El impulso es igual al cambio de la cantidad de movimiento. Integrando:

I =  ∫ K·A·cos ωt dt = K·A· ∫ cos ωt dt = (K·A/ω)· sen ωt = m·v

Si despejas v de esta expresión con t=2 s, te quedará: v = 18,29 m/s

Luego Ec = ½·m·v² = 10034 J ≈ 10,034 KJ (hay una pequeña diferencia con la solución del libro que puede ser debida a los decimales despreciados).

Si te queda alguna duda coméntamela.

Nota: Borraré mi mensaje anterior para no confundir a los posibles lectores.

En X(t) = 192·cos (0,31 t) → no has considerado la fuerza peso. Si tomas como posición de equilibrio el puente la x(t) vale:

x(t) = (192/2)·cos ωt + x_o = (192/2)·cos ωt + mg/k (+ hacia abajo)

ya que entonces deberás considerar el peso.

A ver si te lo puedo explicar de una manera clara y concisa:

Los movimientos armónicos realizados por la masa visto desde el puente como posición de equilibrio (con fuerza elástica y peso) son idénticos a los realizados desde una posición nueva de equilibrio (despazado h/2 m más abajo) sin considerar, ahora, el peso.