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Espero que podais ayudarme con este examen de estadística, me han dicho que siempre caen los mismo pero no sé ni por donde pillarlos. Os estaría muy agradecida. ;-)

Problema 1
suponiendo que la media de un embarazo sigue una distribución normal de media y desviación típicas desconocidas y teniendo en cuenta que el 97 % de las mujeres dan a luz antes de la 41 semanas y que el 38 % lo hace después de 40 semanas y un día se pide:
a)Calcula media y la desviación típica de la distribución dada en número de semanas.
b) Suponiendo un hospital en el que se han producido 2000 nacimientos ¿ cuántos lo habrán hecho con más de 282 días de gestación?
c) Si queremos tener un control especial sobre los partos más extremos por ser prematuros o por ser de duración larga ¿ Qué dos valores marcarán el 10 % de los partos más alejados de la media.
d) Calcular el rango intercuartílico e interpretarlo.

Problema 2
De una determinada enfermedad sabemos que afecta a un 10 % de la población mundial siendo mortal en un 5% de los afectados, según esto:
a) Si tuviésemos un grupo de 10 afectados ¿ Que probabilidad habría de que muriesen más de dos?
b) En una ciudad de 1000 habitantes ¿cúal es la probabilidad de que mueran más de 4?
c) En un grupo de 10 personas ¿Cul ds la probabilidad de que afecte a alguno? ¿ y de que muera alguno?

Problema 3
Una enfermedad se trata con 3 fármacos diferentes A,B,C. El fármaco A se aplica a un 20 % de los hombres y a un 60 % de las mujeres, el B se aplica a un 50 % de los hombres y a un 10 % de las mujeres y el fármaco C se aplica a un 30 % de los hombres y a un 30 % de las mujeres. Además se sabe que del total de los afectados por la enfermedad el 80 % son hombres y el 20 % son mujeres, se pide:
a) si tenemos un paciente con esa enfermedad ¿ Cúal es el fármaco que con más probabilidad se le aplicaría?
b) Tenemos un paciente tratado con C ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?
c) Si tenemos un paciente tratado con A ¿ Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Muchas gracias por vuestra ayuda.
Saludos
:-)

Hola, Tibesti. Intentaré ayudarte. ¿Cómo llevas la distribución normal, el manejo de la campana? Es indispensable.
a)
Si escoges una embarazada al azar, no sabemos cuántas semanas estará gestando: por eso la duración del embarazo es una vble. aleatoria que nos dicen que es normal: X~ N (μ , σ)  en semanas.

Pero sabemos que hay probabilidad 0,97 de durar menos de 41 semanas y 0,38 de durar más de 40 semanas.

Entonces  p(x<41) = 0,97
             tipifico: p(z < (41-μ)/σ) = 0,97         
                        De tablas: (41-μ)/σ = 1,88


             p(x>40) = 0,38  => Hay que preparalo como una p(x<k), luego   1 - p(x≤40) = 0,38 => p(x≤40) = 0,62
             tipifico: p(z < (40-μ)/σ)) = 0,62
                        De tablas: (40-μ)/σ = 0,305

    Ahora tienes que resolver el sistema obtenido de las dos ecuaciones (es idéntico al que mandaste hace poco: y que te contesté. Además, he corregido un error del último cálculo hecho, al final )
                       
Resolviendo el sistema: μ = 39,81  ;  σ = 0,63 semanas

b)
282 días / 7 = 40,29 semanas
Se pide p(x>40,3) , "le doy la vuelta" al >
 1-p(x ≤ 40,3) = 1 - p (z ≤ (40,3-39,81)/0,63) = 1 - p(z ≤ 0,78) = 1 - 0,7823 = 0,2177 es la prob de que una gestación dure más de 282 días.
De 2000 embarazos: 2000 * 0,2177 = 435,4 ~ 435 se espera que duren más de 282 días.

c)
10% de los embarazos más cortos: p(x < -k) = 0,1 =>  p(x > k)= 0,1 => 1 - p(x < k) = 0,1 => p(x < k) = 0,9 => k= 1,28 => -k=-1,28
                (x-39,81)/0,63 = -1,28 => x = 39 semanas dura el 10% de los embarazos más cortos.

10% de los embarazos más largos: p(x > k) = 0,10 => 1 - p(x < k) = 0,1 => p(x < k) = 0,9 => x= 1,28
                 (x-39,81)/0,63 = 1,28 => x = 40,62 semanas dura el 10% de los embarazos más largos.

d)
Rango intercuartílico:   diferencia entre los cuartiles Q₃ y _Q1

Q₃= deja a su dcha. 1/4, o sea, el último 25% de la distribución:
  p(x>Q₃)=0,25 => 1 - p(x ≤ Q₃) = 0,25 => p (x ≤ Q₃) = 0,75 => p (z ≤ (Q₃-39,81)/0,63) = 0,75 => (Q₃-39,81)/0,63 = 0,675 => Q₃ = 40,24 semanas el 25% de los más tardones

Q₁= deja a su izda. 1/4, o sea, el primer 25% de la distribución:
Ahora empiezo mejor con la vble. tipificada para controlar mejor el signo - del que me ayudo:
  p(z ≤ -k) = 0,25 => p (z > k) = 0,25 => 1 - p(z ≤ k) = 0,25 => p(z ≤ k) = 0,75 => k = 0,675 => -k = -0,675 =>   -0,675 = (Q₁-39,81)/0,63 => Q₁= 39,38 semanas el 25% de los más tempraneros
El recorrido (rango) intercuartílico lo damos preferiblemente como intervalo: RIC=[39,38 ; 40,24] Nos indica que el 50% de los embarazos llegan a término entre esos dos extremos. Como la media es de 39,81 semanas y no queda alejada de Q₁ y Q₃, no parece haber una gran dispersión de casos: el valor de 39,8 semanas es muy representativo de la duración promedio de embarazos.

¡Hale, venga!

Los tres apartados son de distribución binomial ("de veinte, ocho" o similar).
x ~ B(n , p) ; n=10 , pero desconocemos la probabilidad p de contraer esta enfermedad y morir. La sacamos de los datos, que no son más que sucesos elementales.

La probabilidad de estar afectado es 0,1 , y la de morir estando afectado es 0,05, luego:
p(A∩M)= p(A)*p(M/A)= 0,1 * 0,05 = 0,005 es la prob de contraer esta enfermedad y morir => p=0,005.

a) Ahora entra la binomial: de 10 afectados, más de 2 decesos. PERO si nos aseguran que están afectados los 10, p debe ser la probabilidad de que mueran sabiendo que han enfermado: p=0,05
Aplicamos B(10; 0,05) (no p=0,005)
Se pide p(x>2)= 1 - p(x≤2) = 1 - (p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)) = 1 - [ (10|0) 0,05⁰ 0,95¹⁰ + (10|1) 0,05 0,95⁹ + (10|2) 0,05² 0,95⁸] = 1 - 0,9155 = 0,0845

b)
Ahora no sabemos si están enfermos o no, y se sigue una X~B(1000 ; 0,005)  
Con estos valores, como n es grande, por el TCL tenemos que B(1000;0,005) ---> N(np; √npq)
Es decir, x~ N (1000*0,005 ; √1000*0,005*0,995) = N (5 ; 2,23)

Así: p(x>4) = 1 - p(x≤4) = 1 - p(z ≤ (4-5)/2,23)= 1 - p(z ≤ -0,45) = p (z ≤ 0,45) = 0,6736

c)
Ahora, la prob pedida es solo la de que se esté enfermo o no, luego x~ B(10; 0,1)
De 10, a más de 0:
p(x≥0)= 1 - p(x=0) => 1 - (10|0) 0,1⁰ 0,95¹⁰ = 1 - 0,5987 = 0,4013 prob de que afecte a alguno.

Y de que muera alguno: x~B(10; 0,005)
p(x≥0)= 1 - 0,995¹⁰ = 0,0489, prob de que muera alguno

Vale salvo error u omisión
¡Venga, Tibesti!

Holahola:
No es distribución normal (debería decirlo) ni binomial ("de veinte individuos, ocho afectados" o similar).

Operamos, pues, con sucesos elementales y sus leyes.  Siempre que sea posible, dibujaremos el árbol de dependencias. Si sacas el árbol, este te llevará de la mano. El árbol es tan potente simplificando los procesos, que más de un profe se te puede quejar (con razón) diciendo que "faltan explicaciones", pero no te lo podrá poner mal. La única precaución es dibujarlo "en orden cronológico". Habrá varios sucesos consecuentes, pero primero se producen unos y luego otros:

Se trata a varios enfermos (no interesa la distinción frente a "sano"). Distinguimos que el enfermo sea hombre o mujer; y luego, que se le dé A, B o C. Mira el árbol:

Primero, Hombre-mujer, luego los medicamentos A,B,C. Hay que situar los porcentajes como probabilidades sobre las ramas, te tienen que cuadrar todos los valores.
Ahora seguimos la regla "valores unos a continuación de otros: multiplicarlos".
                               "Ramas distintas: sumarlas".

 a) si tenemos un paciente con esa enfermedad ¿ Cuál es el fármaco que con más probabilidad se le aplicaría?
Hallamos las probabilidades que llevan a A,B y C y comparamos:

p(A)= "toma todos los caminos que lleguen a A" = 0,8 * 0,2 + 0,2 * 0,6 = 0,28  (hay 2 ramas disttas que llevan a A: se suman)

p(B) = 0,8 * 0,5 + 0,2 * 0,1 = 0,42

p(C) = 0,8 * 0,3 + 0,2* 0,8 = 0,4

Comparamos y vemos que la prob más alta es la de aplicar B, independientemente del sexo.

b) Tenemos un paciente tratado con C ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?
Se pide p(H|C) : prob de H, si es tratado con C

La rama que hace             0,8     0,3
                                  ------H------C  es la que nos interesa.  Ese 0,3 es p(C|H) (prob de C sabiendo que es H), la queremos "al revés":

p(H|C) = p(H ∩ C) / p(C) = p(C|H) * p(H) / p(C) = 0,3 * 0,8 / 0,4 => p(H|C) =  0,6    (con p(C), hallada antes).

c) Si tenemos un paciente tratado con A ¿ Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
 p(M|A) = p(M ∩ A) / p(A) = p(A|M) * p(M) / p(A) = 0,6 * 0,2 / 0,28 => p(M|A) = 0,4286

Espero que te sirva.
hale.