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TEngo una duda con este problema de estadistica, necesito ayuda por favor.


PROBLEMA 1
Suponiendo una facultad en la que hay 60 % chicas y 40 % chicos.
a) Si en un año van 6 alumnos a hacer prácticas en un hospital. ¿ Que probabilidad hay de que vayan más chicos que chicas?
b) En un período de 5 años ¿Cuál es la probabilidad de que más de una año no haya ido ningún chico?

PROBLEMA 2
Un porducto se vende en botellas d un litro. si el ph de las botellas sigue una distribución normal de media y desviación típicas desconocidas, pero sabemos que en un total de 10000 botellas hay 2296 con ph por encima de 9,60 y y 8925 con ph por debajo de 10. se pide.
a) Calcular la media y desviación típica.
b) Si el producto deja de ser efectivo cuando su ph es menos que 7,60, ¿ Cuántas botellas no serán eficaces en el lote de 10000?
c) Calcular el valor del ph or encima del cuál se encontrará el 25 % de la población.
d) Calcular la mediana, coeficiente de asimetría, coeficiente de curtosis, tercer decil y coeficiente de variación.

Muchas gracias por vuestra ayuda. ;-)

Hola, Tibesti. Te ayudo con el primero.
Es una distribución binomial (cuando sea del tipo "que de 10 veces, ocurra 4", gralmente. será binomial).
Hay 6 "intentos", y la probabilidad de éxito p es 0,4 , esto es, de que se escoja a un chico. La q=0,6 es la de "fracaso", que salga chica. (joer, qué mal suena. Perfectamente podríamos hacer p=0,6  -éxito una chica- y q=0,4 -fracaso un chico-  y atenernos a ello).

Entonces tenemos X ~ B(n,p)
X es la vble aleatoria: que se envíe UN chico a hacer prácticas al hospi. Sigue una distribución binomial porque:
1) Hay dicotomía: o sale chico o sale chica, solo dos posibilidades (cara/cruz; rojo/negro, etc.), con p=0,4 cte.
2) Hay independencia entre pruebas (si el 1º salió chico, no afecta al sexo del siguiente).

Definimos los parámetros de B(n,p):
Son n=6 "intentos"  ; p=0,4 (prob de escoger un chico AL AZAR, porque si es por notas...); q=1-p=0,6 (prob de escoger chica al azar).

Traducimos la pregunta:
p(x≥4), pues más chicos que chicas supone ó 4 chicos ó 5 ó 6:

p(x≥4)= p(x=4)+p(x=5)+p(x=6)=(6|4) 0,4⁴ 0,6² + (6|5) 0,4⁵ 0,6¹ + (6|6) 0,4⁶ 0,6⁰
OJO: (6|4), etc. debe ser "6 sobre 4"  (no me funciona el LaTex en Opera ni en Chrome ni en IE). (6|4)=6C4 en la calcu = tbién 6!/(4!*(6-4)!)

Así que p(x≥4)= 0,13824+0,036864+0,004096= 0,1792 (El ~18% de los años irán más chicos que chicas)

b) Hallamos primero la prob de que un año no vaya ningún chico:
p(x=0)=(6|0)·p⁰·q⁶=1*1*0,6⁶= 0,046656 prob de ningún chico un año, todo chicas.
Ahora podemos formar una nueva binomial:
n=5 intentos (años); p=0,046656; q=1-0,046656; ahora "éxito"="0 chicos en 1 año".
Y~B(5 ; 0,046656)

Ahora aquí queremos p(y=5), no p(y=0) porque de 5 intentos queremos 5 "éxitos", siendo éxito 0 chicos.
Luego p(y=5) = (5|5)  0,046656⁵ q⁰=1 * 0,046656⁵ * 1 =  2,21 * 10^-7 , prácticamente nula.

No habría hecho falta ir a una binomial: como hay independencia, lo que ocurre un año no afecta al siguiente, luego el cálculo obliga a multiplicar 5 veces la prob de un año.

Cuando pueda, te intentaré echar una mano con el prob 2.
¡Hale, venga!

Hola Etxeberri, lo acabo de probar y funciona en Chrome e IE (Opera no lo tengo). Debes escribir la fórmula y copiarla al disco con el enlace:

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Después subes la imagen con 'subir imagen'

Gracias por colaborar en las respuestas.

- Problema 2


a)
"En un total de 10000 botellas hay 2296 con ph por encima de 9,60": Por la ley de Laplace, la probabilidad de que cogiendo una botella al azar dé pH mayor que 9,60 es   p(pH>9,6)= 2296/10000 = 0,2296

"y  8925 con ph por debajo de 10": p(pH<10) = 8925/10000 = 0,8925

Llevando esto a la población de botellas, el pH de una de ellas al azar es una v.a. distribuida según  X ~ N(μ , σ) , con los parámetros desconocidos.

Pero como me dan
         p(pH>9,6) = 0,2296 =>  Para ayudarme de las tablas, tiene que estar en la fª  p(z≤k)=c , con el ≤ y habiendo tipificado. Si no, no hay tabla que valga:
   =>  1 - p(pH ≤ 9,6) = 0,2296 =>
   =>  p(pH ≤ 9,6) = 0,7704 Tipificamos:
         p(z ≤ (9,6 - μ)/σ ) = 0,7704 Y ahora, a tablas. Conocemos una probabilidad, luego la buscamos en el mar de números, y miramos qué valor de z le corresponde:

         Si "algo" acumula una probabilidad 0,7704, el "algo" , z, es 0,74 según la tabla normal:

                          (9,6-μ)/σ = 0,74  
                                     Haciendo lo propio con p(pH<10) llegaremos a otra ecuación similar, luego tenemos un sistema
                          (10-μ)/σ = 1,24

           Resolviendo:    
                  μ = 9   (sale μ=9,008)      
                  σ = 0,8
El pH de las botellas sigue una distribución X ~ N (9 ; 1,24)

b)
 Primero, a ver la prob de que una botella al azar tenga pH<7,60

    p(pH<7,60) = p(z < (7,60-9)/1,24) = p (z < -1,13) = 1 - p(z < 1,13) = 1 - 0,8708 = 0,1292 (tablas).
                                                                                                 
    Este valor asegura que de cada 10000 botellas, 1292 se espera que den un pH por debajo de 7,60

     (si hubiera dado prob=0,13; de cada 100, serían 13; al venir con 4 decimales, se presta a la comparación sobre 10000; si no, regla de 3 ).

c)
 Se pide el punto (valor de z) que deja a su derecha un 25%, esto es, 0,25 de probabilidad. Es la cola derecha.
Preferiblemente, operamos primero con valores directos de tabla, o sea, tipificados, y luego lo llevamos a N(9; 1,24) deshaciendo la tipificación:
   p(z > k) = 0,25 => 1- p(z ≤ k) = 0,25 => p(z ≤ k) = 0,75 => k = 0,675 , pero k es un valor tipificado (es una z), entonces:

               (x-9)/1,24 = 0,675 => x = (0,675*1,24) + 9 => x = 9,84 es el valor de pH que supera el 25% de botellas con pH más alto

d)
- La mediana es el valor de pH que deja a izda y dcha el 50% de unas botellas y otras (las de pH menor y las de mayor, respectivamte.)
Por simetría, en la curva normal coinciden media, mediana y moda: Me = 9 , pH mediano
- Coeficiente de asimetría:
    Se definen varios coeficientes de asimetría (ver Wikipedia); el más facilmente calculable aquí es el de Pearson: A_p = (μ-Moda)/σ  Como media y moda coinciden en la normal, A_p = 0, como era de esperar en una distribución simétrica (campana de Gauss).
- La curtosis de cualquier distribución normal es también nula. La curtosis mide lo "puntiaguda" que es la función (o lo aplanada). Una de las formas de calcularla es mediante γ₂(gamma 2) = μ₄(z) - 3, esto es, el 4º momento respecto de la media. Operando debe dar 0: mesocúrtica. De hecho, la curva normal se suele tomar como referencia de curtosis (ni picuda ni aplanada).
Para estas definiciones me estoy ayudando de la Wiki, ¿ok?

-Coef. de Variación de Pearson: V = σ/μ = 1,24/9 = 0,138
Vamos, que nos vamos:

Tercer decil:
 Hay que suponer la distribución de valores de pH de 10% en 10%:
El 1er decil deja a su izda el 10% de los datos
El 2º decil deja a su izda el 20% de los datos (ya han salido el 20% de los pH más bajos).
El 3er decil deja a su izda el 30% de los valores de pH más bajos:
  p(x ≤ d3) = 0,3 => p(z ≤ (d3-9)/1,24) = 0,3 Pero 0,3 no viene en tablas. Nos ayudamos de la simetría de la curva:
   
   Nuestro cálculo es lo mismo que p(z>(d3-9)/1,24) = 0,3 =>
                                         =>  1 - p(z ≤ (d3-9)/1,24) = 0,3 =>
                                         =>  p(z≤ (d3-9)/1,24) = 0,7 => a tablas, buscando 0,7 en el "mar" de números:
                                         => (d3-9)/1,24 =  0,525 => el valor simétrico que queremos es  -(d3-9)/1,24 =  0,525 => d3=8,35
d3 = 8,35, tercer decil . El 30% de las botellas tienen pH≤8,35

Espero que saques notaza.
¡Hale, venga!

[Edito desde Chrome y ahora por fin se abre el panel de LaTex. Gracias, Galilei. Peazo sitio web]