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Si un cuerpo de masa M viajase por el espacio a una cierta velocidad y en una determinada dirección. ¿Qué dirección y sentido habría que darle a una fuerza para que el cuerpo girase en círculo? ¿Qué ocurrirá cuando dejase de actuar dicha fuerza?. Si repetimos la experiencia con un cuerpo de masa doble ¿qué habría que hacer para que girase en torno a un punto determinado?.

Supongamos que estamos en el punto que ocupa el centro geométrico de la Luna y vemos venir al módulo de mando lunar (Apolo XIII). Queremos que describan una circunferencia de radio R. Deben entrar tangente al circulo que quieren describir. Cuando el vector velocidad sea perpendicular a R, en ese momento, debemos aplicar una fuerza hacia el centro de la trayectoria para mantenerlo girando a su alrededor.

Esta fuerza depende, como era de esperar, de la masa del módulo, es proporcional a ella. Doble masa require doble fuerza. Es como si quisiéramos hacer girar dos naves (doble masa) y entonces le aplicamos a cada una la que le corresponde.

También depende de la distancia a la que está del centro. Radio de la curva (órbita). Es inversamente porporcional a ella. Doble distancia requiere mitad de fuerza (centrípeta). La fuerza cambiar la dirección del movimiento (velocidad) , mientras más lejos está menos curvatura tiene el círculo (es más rectilineo) y menor será el cambio de dirección.

Falta la tercera magnitud de la que depende la fuerza central: la velocidad. De ésta no depende proporcionalmente sino de su cuadrado. La tendencia a seguir la linea recta es proporcional a V². Doble velocidad requiere cuádruple fuerza para retenerlo. Debemos pensar en esto los que conducimos, entrar a doble velocidad en una curva necesita una fuerza cuatro veces mayor que la ofrece el rozamiento de nuestras ruedas con el esfalto.


V²/R es lo que se llama aceleración centrípeta (normal o radial) y mide la rapidez con que V cambia de dirección al igual que la aceleración tangencial mide la rapidez de cambio del módulo de V.

Por si alguien se pregunta cómo es posible que yendo la nave a velocidad (mólulo) cte haya aceleración. Hay que recordar que la velocidad es un vector y en él pueden cambiar tanto el módulo como la dirección.

Evidentemente el Apolo no puede hacer que la Luna los retenga con unas condiciones impuestas por ellos. Más bien al contrario.

La fuerza que está dispuesta a hacer el satélite tiene otras condiciones:
Atraerá a la nave con una fuerza proporcional a la masa de la nave (justo lo que necesitamos) y a su propia masa. Pero la fuerza que hace es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.


G es la cte de proporcionalidad (cte de gravitación universal)

Podemos calcular las condiciones últimas impuestas por la Luna. Como la fuerza responsable del giro la debe ejercer ella, debemos igualar ambas expresiones y ver que pasa:


El término G·ML / R² es la gravedad de la Luna a una distancia R de su centro. Es, por tanto, la fuerza que ejerce sobre un kilo masa.

Si eliminamos M de ambas, observaremos que la aceleración centrípeta esta provocada por la aceleración de la gravedad de la Luna.

Si la nave quiere entrar a una distancia R determinada, el cuadrado de la velocidad debe de valer:


La Nasa puede elegir la velocidad o el radio pero no ambos.

Es importante que cuando peneten en la órbita no tenga los motores encendidos. La gravedad lunar se hará cargo de todo sin el más mínimo gasto de combustible. Esto es así porque la fuerza que ejerce es perpendicular al desplazamiento y no realiza trabajo (no consume energía). Se limita sólo a cambiar la dirección de su movimiento. Es como mantener un jamón colgado del techo. No cuesta energía hacerlo. Una condición para que haya trabajo es que cambie el módulo de la velocidad (energía cinética):


Por último, para escapar de su trayectoria y volver a la Tierra deben darle un gran impulso a la nave con sus motores y tendrán que tener en cuenta que mientras se alejen la atracción gravitatoria permanecerá aunque cada vez menor.

Hemos visto que la fuerza necesaria para mantener un cuerpo girando, haciendo círculos es inversamente proporcional al radio, sin embargo:


Sustituyendo en la expresión F = M·V²/R nos daría un resultado contradictorio:


Siendo ω la velocidad angular. Mide la rapidez con que cambia el ángulo de giro (el que describe R). Se observa que ahora F es proporcional a R y no a su inversa.  

La acelaración centrípeta también se puede expresar como ω²·R

Si utilizamos esta expresión en vez de la otra obtenemos un resultado interesante:


Si simplificamos M y sustituimos ω por la rapidez con que cambia el ángulo:

T es el tiempo que tarda en dar un giro (360º ≡ 2π rad)


nos queda:


que reagrupando se puede escribir de esta forma:


que es la conocida tercera ley de Kepler.

Hay que mencionar que el pobre Kepler no dedujo esta ley de esta forma sino utilizando un montón de números y haciendo que encajaran con una regla determinada.