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Hola me falta una cosilla por resolver este ejercicio.

Se construye un tunel entre Japón y España de forma que se pueda aprovechar la acción de la gravedad para viajar con rapidez y economia. Si dicho tunel es recto y su distancia mínima al centro de la tierra es d. ¿cuanto valdra la velocidad máxima que adquirirá un vagón cargado de viajeros , cuya masa sea m?

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hallamos el potencial -->V = ∫^r_RoGmM/R³ rdr = GMm/2Ro³(r²-Ro²)

conservación de la energia---> Ei=Ef ---> 0 = mV²/2 + GMm/2Ro³(r²-Ro²)

V² = g/Ro (Ro²-r²)

Hasta ahi sé que esta bien pero ahora no sé averiguar cúal es la velocidad máxima.

Eso no es el potencial sino la energía potencial. V = Ep/m = (GM/R³)·∫ rdr



Vamos a calcula el potencial en 'r' tomando cero en el centro del planeta:

Si tomas el potencial con referencia en el ∞, como es lo normal, en textos, el potencial sería:


(G·M/2R³)·r² - (3/2R)G·M    si  r < R

-GM/r                              si r ≥ R

Gravitación (fis.usb.ve - Pág 9)

                     r
V(r) = (G·M/R³)∫r·dr = (G·M/2R³)·r²
                    0

El potencial en R es (G·M/2R³)·R²
El potencial en d es (G·M/2R³)·d²

W = ∆Ec = -∆Ep = -m·∆V = ½m·v²

-2·∆V = v²     =>     v² = -2·((G·M/2R³)·d² - G·M·R²/2R³) =

= -(G·M/R³)·d² + (G·M/R³)·R² = (GM/R³)·(R² - d²)

v = √(GM/R³)·(R² - d²)     [Esta es la velocidad máxima, cuando dista d del centro]

Entonces por ejemplo si el tunel midiese 500 km

la velocidad máxima seria :   R²= d²+500/2 ----> d² = R²-250 ----> v² = GM/R³ (R²-R²+250)  = g/R(250)


¿ es asi correcto ?

Sí.

R²= d²+(500/2)²     =>  d² = R² - (500/2)²      Luego pásalo a metros antes de sustituir.

vale perfecto, muchas gracias