Foros Ciencias Galilei

Este ejercicio creo que es el último por fin.

Sea un planeta de densidad de masa ρ uniforme que rota con velocidad angular ω alrededor de un eje que pasa por su centro . Un tunel atraviesa el planeta a lo largo de un diámetro perpendicular al eje de rotación . Determinar ω para que un cuerpo situado dentro del tunel se mueva ( sin rozamiento ) con velocidad constante.

haber si puedes recomendarme algun sitio donde venga bien explicado y de mi nivel el tema de gravitación.

muchas gracias

Hola,

Para que ocurra eso, el cuerpo debe estar ingrávido, es decir, en orbita alrededor del eje del planeta y dentro de él.

Para que esté en óbita se tiene que cumplir que:

Fc = m'·ac = m'·ω²·r     (fuerza centrípeta)

o lo que es lo mismo (a única aceleración es la producidad por la gravedad):

ac(r) = g(r) = ω²·r    (campo gravitatorio en 'r')

La fuerza centrípeta es la causada por el peso del cuerpo m' debido a la masa del planetilla que tiene debajo. La masa de éste, en función de r, ya lo calculamos en:



m = M·(r/R)³

M es la masa de todo el planeta y R su radio.

g(r) = G·m/r² = ω²·r

G·m = ω²·r³        Sustituyendo m por su valor:

G·M·(r/R)³ = ω²·r³

G·M·/R³ = ω²

ω = √G·M·/R³

Curiosamente no depende de 'r'. Compensaría la tendencia a escapar por el giro con su propio peso (con respecto al planetilla que tiene debajo).

muchisimas gracias, al final da igual que un cuerpo este orbitando fuera de la tierra o que esté dentro de la tierra en un tunel, solo varia la masa

No, fuera de la Tierra la fuerza es proporcional a 1/r² (dentro lo es a r) y la velocidad angular a la que tiene que girar depende de r:

Fuera de la Tierra:   r > Rt

Fc = G·M·m/r² = m·ω²·r

G·M/r³ = ω²

ω² = G·M/r³

ω = √G·M/r³          depende de 'r'.  (esta es en realidad la 3ª ley de Kepler)