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Dado el sistema {  x+2y-z=0
                        2x-y+z=3
Se pide:
a)Estudiar la compatibilidad
b)Añadir una ecuación para que sea un sistema compatible determinado.
c) Añadir una ecuación para que sea un sistema compatible indeterminado.

Todo ello debe de ir bien justificado y razonado.

Hola,



Tomando:

x+2y = z
2x-y = 3 - z

La matriz de los coeficientes (x,y) es de rango 2 = rango ampliada <  nº incógnitas (3)

Por lo tanto el sistema es compatible indeterminado. (Teorema de Rouché-Fröbenius)



Para que sea compatible determinado basta con añadir una ecuación en la que los coeficientes de (x.y,z) sean independientes de las anteriores. Es decir, que el determinante formado por la matriz de los coeficientes no sea nulo (rango de matriz coeficientes = 3)

Por ejemplo:

x+2y - z = 0
2x-y + z = 3
x + y + z = 4

El determinante de los coeficientes es -7. Luego:

Rang Coef = Rang Ampli = 3      Sistema compatible determinado.



Ahora hay que procurar que el rango de coeficientes sea 2 (una debe ser combinación de las otras) y que la ampliada tenga rango 3. Por ejemplo:

x+2y - z = 0
2x-y + z = 3
3x + y = 11

La primera más la segunda (coeficientes) da la tercera pero eso no ocurre con el término independiente. Por lo tanto:

Rang Coef = 2 ≠ Rang Ampli = 3     =>  Sistema incompatible.

x+2y - z = 0
2x-y + z = 3
x + y + z = 4

Vale, muchas gracias, ahora me ha quedado claro.
¿Siempre que ponga compatibilidad es analizar el rango?

Hay varios métodos, por ejemplo Gauss, pero es lo más normal (Rouche)