Foros Ciencias Galilei

Considere la elipse x²/a² + y²/b² = 1. Encuentre usando la ley de Snell el camino del rayo que une el punto A=(0,2b) con B=(2a,0) y toca la elipse.

Lo que he llegado a determinar según la Ley de Snell que dice: n₁senθ₁ = n₂senθ₂ es que si el rayo viaja en el mismo medio, las velocidades deben ser las mismas, por lo que los ángulos deben ser iguales y trazando la tangente en ese punto P=(X₀,Y₀) entonces la normal a la tangente bisecta al ángulo APB. El camino debe ser el segmento AP y PB, pero no he podido encontrar las coordenadas del punto P sobre la elipse.

Alguna idea?

Hola,

tengo una idea pero no se si es buena.

La luz cuando recorre un camino entre dos puntos los hace buscando tardar el menor tiempo posible. Cuando no cambia de medio esto se traduce en buscar el camino más corto (mínima distancia).

El camino en este caso es el de A a P y de P a B sumados:

d = √x² + (y-2b)² + √(x-2a)² + y²

d tiene que tener un mínimo para algún punto (x,y) que cumpla con la ecuación de la elipse.

Deriva e iguala a cero e intenta resolver esta ecuación con la de la elipse. No parece fácil.


Otro procedimiento es calcular la pendiente, m,  en un punto (x,y) de la curva (derivada). La perpendicular tiene pendiente -1/m. Busca un vector que tenga esa pendiente, llamémosle n

El ángulo formado por AP y n es el mismo que el de PB y n

Para sacar el ángulo entre dos vectores utiliza el producto escalar.

Hola Galilei,

La primera opción ya la intenté una y otra vez, pero al resolver la derivada d'(x) = 0, salen unas ecuaciones irresolubles.

Intentaré lo segundo.

Gracias por tus sugerencias.