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Buenas tardes, no tengo ninguna duda puntual de ningún ejercicio (por ahora) lo que no logro entender es una parte del método de Fracciones Simples y es lo siguiente:

Tomando como ejemplo la fracción P(x)/Q(x)
Sé que si gr(P) > gr(Q) entonces divido P/Q separo el resto (R) y trabajo con la fracción R(x)/Q(x). Hasta ahí voy bien.
Cuando tengo la fracción irreducible, hallo las raíces de Q y hago la descomposición factorial.
En general sería (con un Q(x) de gr(3), suponiendo 3 raíces reales):

R(x)/a(x - α)(x - β)(x - δ) = A/(x - α) + B/(x - β) + C/(x - δ)

Bueno hasta esa parte llego, de ahí no logro entender cómo se hace para hallar A, B y C, sé que hay 4 casos, pero la verdad es que no entiendo cómo hallo los valores.

Bueno espero que me puedan ayudar porque la verdad los libros que tengo como que se saltean en cierta manera esa parte.
Gracias y saludos!

El metodo que uso es el siguiente, según tu ejemplo.

Tenemos que:

R(x)/a(x - α)(x - β)(x - δ) = A/(x - α) + B/(x - β) + C/(x - δ)

Ahora multiplico ambos miembros por a(x - α)(x - β)(x - δ), luego:

R(x)= aA(x - β)(x - δ)+aB(x - α)(x - δ)+aC(x - α)(x - β)

Expando las multiplicaciones:

R(x)=aA(x²-δx-βx+βδ)+aB(x²-δx-αx+αδ)+aC(x²-αx-βx+αβ)

Separo términos semejantes:

R(x)=(aA+AB+aC)x²+(-aAδ-aAβ-aBδ-aBα-aCα-aCβ)x+(aAβδ+aBαδ+aCαβ)

Digamos que R(x) es de la forma:

R(x)=j_nxⁿ+j_n-1x^n-1+...+j₂x²+j₁x+j₀

Con j_k∈ℝ.

Luego:

j_nxⁿ+j_n-1x^n-1+...+j₂x²+j₁x+j₀=(aA+AB+aC)x²+(-aAδ-aAβ-aBδ-aBα-aCα-aCβ)x+(aAβδ+aBαδ+aCαβ)

Para que los dos miembros sean iguales,los coeficientes de potenncias iguales deben ser iguales,es decir:

Para xⁿ:

j_n=0

Para x^n-1:

j_n-1=0
.
.
.
Para x²:

(aA+AB+aC)=j₂

Para x:

(-aAδ-aAβ-aBδ-aBα-aCα-aCβ)=j₁

Para x⁰:

(aAβδ+aBαδ+aCαβ)=j₀

Con lo que tienes un sistema de 3x3 el cual debes solucionar para A, B y C.

Este método es cómodo cuando tienes raíces lineales simples.

Para raices no simples o repetidas, aquí hay un método más cómodo usando derivadas:

Fracciones Parciales (Dr. Julián Gpe. Tapia Aguilar)

Ahi va muchas gracias, buena explicación y buen documento, el procedimiento conderivadas parece más fácil.
Bye bye