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Hola, no entiendo este ejercicio   :

Determina m, si es posible, para que el plano de ecuación:

2m·x - 3(m-1)·y - (m+3)·z + 2m+4 = 0 sea ortogonal a la recta de ecuación 2x = y = -2z.

Agradecería mucho que me lo explicaran.
Saludos y feliz semana.

Hola,

Para ver el vector de la recta hay que ponerlo en la forma:

 x - xo     y - yo       z - zo   
------ = --------- = --------
   dx           dy           dz

Como la recta es:

2x=y=-2z   =>    x/½ = y/1 = z/(-½)        Punto (0, 0, 0)

El vector es (½, 1, -½)  Tomaremos uno paralelo: (1, 2, -1)

El cector normal del plano es:

2mx-3(m-1)y-(m+3)z+2m+4=0  =>  (2m, -3(m-1), -(m+3))

Para que plano y recta sean perpendiculares (ortogonal) sus vectores han de ser paralelos (componentes proporcionales o rango de ambos 1):

    2m          -3(m-1)            -(m+3)
--------- = ------------- = -----------
     1                2                    -1

Multiplicando por 2:

4m = -3(m-1) = 2·(m+3)

De la primera igualdad:

4m = -3(m-1)    =>    7m = 3     =>   m = 3/7

De la segunda:

4m = 2·(m+3) = 2m + 6    =>      2m = 6     =>     m = 3

No es posible encontrar un valor de m para que recta y plano sean perpendiculares.

Muchísimas gracias!!