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Buenos dias! hace unas horas vi la clase de integrales y pude resolver ejercicios sencillos, la mayoria por resolucion directa y algunos de cambio de variables y entidades trigonometricas o por sustitucion, pero hay unos ejercicios en concreto que no pude resolver, se los planteo aca en espera de una respuesta, en lo posible si se puede una explicacion de como deben resolverse, todo esto con la finalidad de que pueda aprender a resolver dichos casos de integrales y solventar dudas en las siguientes clases.

Dejo adjunta una imagen con los ejercicios que no pude resolver gracias de antemano!!

∫dx/√9-16·x²

∫(x² + 5x + 6)·cos 2x·dx

∫sen² x·cos x·dx

∫(x² - 2x + 3)·Ln x·dx

∫(x²+1)·dx/(x-1)

∫√(1 - x²)·dx/x

∫(x⁴ + x² + 1)·dx/(x - 1)

∫√(x² - 16)·dx/x⁴

si logro resolver alguno de estos ejercicios los subo a este foro por si acaso alguien le dio curiosidad estos ejercicios y porque es de buen matematico presentar respuestas a todos los ejercicios, asi a quien haiga dado curiosidad estos ejercicios vean respuesta y procedimiento a estos ejercicios.

Leete las normas, Andrés, no está permitido subir adjuntos o gráficos para enunciados o respuestas. Hay que escribirlos. Ahí te enseña a hacerlo.

Ok, ya veo que se modificaron, lo tendre en cuenta para la proxima vez que postee un enunciado o respuesta.

espero una pronta respeusta a los ejercicios, en especial los primeros 4 pues son los que se me han dificultado.

gracias de antemano

Dividimos por 3 numerador y denominador:

∫dx/√9-16·x² = (1/3)·∫dx/√1-16·x²/9 = (1/3)·∫dx/√1-(4·x/3)² =


= (1/4)·∫(4/3)dx/√1-(4·x/3)² =        Busco que en el numerador me aparezca 4/3 para lo cual miltiplico y divido por 4.

(Lo puedes hacer haciendo el cambio u = 4·x/3)

= (1/4)·arcsen 4·x/3 + K

ya que la derivada de arcsen u   es    u'/√1-u²

u = sen x       =>     du = cos x·dx

∫sen² x·cos x·dx = ∫u²·du = u³/3 + K = (1/3)·sen³ x + K

∫(x² + 5x + 6)·cos 2x·dx = ∫x²·cos 2x dx + 5·∫x·cos 2x·dx + 6·∫cos 2x·dx



Por partes:

u = x²   du = 2x·dx

dv = cos 2x·dx       v = ½·sen 2x

= x²·½·sen 2x - ∫x·sen 2x dx =

otra vez por partes:

u = x     du = dx

dv = sen 2x·dx      v = -½·cos 2x

= ½·x²·sen 2x - [-½·x·cos 2x + ½·∫cos 2x dx =

½·x²·sen 2x + ½·x·cos 2x - ½·∫cos 2x dx = ½·x²·sen 2x + ½·x·cos 2x - (1/4)·sen 2x




u = x   du = dx

dv = cos 2x·dx      v = ½·sen 2x

= x·½·sen 2x - ½·∫sen 2x·dx

= ½·sen 2x

Sustituir en la primera estas tres integrales.

∫x²·Ln x dx - 2·∫x·Ln x dx + 3·∫Ln x·dx =

Estas son también por partes:



u = Ln x     du = dx/x

dv = x²·dx     v = x³/3

= (1/3)·x³·Ln x - (1/3)·∫x²·dx = (1/3)·x³·Ln x - (1/9)·x³

Lo mismo con las demás...

Dividiendo  (x²+1) entre  (x-1):


(x²+1)             2
------- = x + --------
(x-1)             x - 1



∫(x²+1)·dx/(x-1)= ∫x·dx + ∫2·dx/(x-1) = x²/2 + 2·Ln (x-1) + K = ½·x² + Ln (x-1)² + K

∫√(1 - x²)·dx/x

1 - x² = t²   =>   -2x·dx = 2·t·dt     => -x·dx = t·dt

x = √1 - t²

= ∫-t²·dt/(1 - t²) = ∫t²·dt/(t² - 1)

  t²                  1
------- = 1 + ---------
t² - 1             t² - 1

La integral de 1 es t (√(1 - x²))

y la otra es racional:


     1              A             B
--------- = -------- + ---------
  t² - 1          t - 1        t + 1

Calcula A y B y quedan dos logaritmos neperianos.