Foros Ciencias Galilei

1. Calcula las siguientes integrales:

a) ∫x·sen 2x·dx

b) ∫(1-e^x)·dx/(1+e^x)     (1 + e^x = t)

   _π/2
c) ∫x²·cos (4x)·dx
   ⁰

2. Calcula el área limitada por la curva f(x)= 1/(x²+1) y la recta 2y-1=0

Hola,

La función f(x)= 1/x²+1 es:   f(x)= 1/(x²+1)     o    f(x)= 1/x² + 1

Aclara esta también:

c) ∫π/2x² cos(4x)dx    → ? →    (π/2)· ∫(1/x²)·cos (4x)·dx     ¿es así?

Por partes:

u = x      du = dx

dv = sen 2x dx      v = -½·cos 2x


= -½·x·cos 2x + ½·∫cos 2x·dx = -½·x·cos 2x + (1/4)·sen 2x + K

1 + e^x = t     =>     dt = e^x·dx        =>    1 - e^x = 1 - (t - 1) = 2 - t


         (2-t)·dt
= ∫  ---------------
        (t - 1)·t

    (2-t)                A              B
 ------------ = --------- + ----------
   (t - 1)·t          (t - 1)          t

(2-t) = A·t + B·(t -1)

Para t = 0  =>   2 = -B    =>   B = -2

Para t = 1   =>   A = 1

         (2-t)·dt                   dt                    dt
= ∫  --------------- = ∫ ----------- - 2·∫ --------- =
        (t - 1)·t                 (t - 1)                  t

= Ln (t - 1) - 2·Ln t = Ln e^x - 2·Ln (1+e^x) = x - Ln  (1+e^x)² + K

La función es f(x)= 1/(x²+1)

c) ∫π/2 (va arriba) y abajo 0 y luego todo por x²cos(4x)dx

con los integrales no me entero de nada, me cuesta un montón, en cambio las derivadas si me salen mas o menos. la semana que viene tengo el examen :S

Como ambas funciones son pares (simétricas respecto al eje y) calcularemos el área de la parte positiva del eje X y multiplicaremos por 2.

El punto de corte de ambas es:

1/(x²+1) = 1/2   =>    x²+1 = 2     =>    x = ±√1 = ±1

         1                             1
A_f = 2·∫dx/(x²+1) = 2·[arctg x] = 2·(arctg 1 - arctg 0) = 2·π/4 = π/2 u²
        0                              0

Este es el área de la función y el eje de las X. Hay que restarle el área de la recta horizontal (rectángulo) de área = 1·1/2 = 1/2

A = π/2 - 1/2 = (π - 1)/2