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Sea la recta r: 4x-2y+z=0
                    3x-2z+4=0

y el plano ax-y+4z-2=0

Calcula el valor de a para que r sea paralela al plano; y para que a sea perpendicular al plano?

Hola,

Podemos calcular el vector de la recta mediante el producto vectorial de los vectores normales a los dos planos (ver final del mensaje). También pasando la recta a paramétrica que es lo que voy a hacer:

4x-2y+z=0      =>    [*]
3x-2z+4=0      =>    z = (3/2)x + 2

[*]   y = 2x + (1/2)z = 2x + (1/2)((3/2)x + 2) = 2x + (3/4)x + 1 = (11/4)x + 1

Llamamos a x = λ:

x = λ
y = 1 + (11/4)·λ
z = 2 + (3/2)·λ

Un punto de ella es el (0,1,2) y su vector (1, 11/4, 3/2) Multiplicamos por 4 y buscamos uno paralelo al mismo pero que no tenga números quebrados:  (4,11,6)

Un vector normal al plano es el (a, -1, 4)



Para que la recta sea paralela al plano sus vectores deben ser perpendiculares (producto escalar cero)

(a, -1, 4)·(4,11,6) = 4a - 11 + 24 = 0    =>   a = -13/4



En este caso sus vectores deben ser paralelos (componentes proporcionales):

a/4 = -1/11 = 4/6        No hay valor de 'a' que cumpla las dos valores. No se puede hacer que sean paralelos para ningún valor de a.


Nota: El vector de la recta se podría haber buscado haciendo:

Muchas Gracias por la ayuda, pero hay dos cosas que no me han quedado claros...

Para calcular el vector de la recta mediante el producto escalar de los vectores normales del plano me sale perfectamente, pero haciendolo mediante la ecuación paramétrica no me cuadra, ya que al despejar la z en la segunda ecuación no me sale z=(3/2)x+2 sino z=(3/2)x+4

4x-2y+z=0      =>    [*]
3x-2z+4=0      =>    z = (3/2)x + 2

y luego para calcular a si me sale la misma cantidad pero negativa¿?

3x-2z+4=0

Dividimos por 2:

(3/2) x - z + 2 = 0   =>   z = (3/2) x + 2


El signo de la 'a' es negativo como dices, ya está corregido.

ah ok. perfecto. entonces entendido ;) muchas gracias