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Sean los puntos P(4,6,4) y Q (-2,-5,-4). Se considera el plano , perpendicular al segmento PQ por su punto medio.

Obtener la ecuación del plano.
Calcular la protección ortogonal del punto O(0,0,0) sobre el plano.
Hallar el volumen del tetraedro determinado por los puntos en los que el plano corta a los ejes coordenadas y el origen de corrdenadas.

Ya calcule PQ=(-6,-11,-8) y su punto medio M(1,1/2,0) pero no supe seguir... espero que me puedan aclarar ;) Gracias

Sean los puntos P(4,6,4) y Q (-2,-5,-4). Se considera el plano , perpendicular al segmento PQ por su punto medio.

Obtener la ecuación del plano.
Calcular la protección ortogonal del punto O(0,0,0) sobre el plano.
Hallar el volumen del tetraedro determinado por los puntos en los que el plano corta a los ejes coordenadas y el origen de corrdenadas.

Ya calcule PQ=(-6,-11,-8) y su punto medio M(1,1/2,0) pero no supe seguir... espero que me puedan aclarar ;) Gracias

Hola,

Para obtener la ecuación del plano necesitas un punto M(1,1/2,0) y un vector normal a él PQ=(-6,-11,-8) || ((6,11,8)

La ecuación es:

6x + 11y + 8z + D = 0

Sustituimos el punto para sacar D:

6·1 + 11·(1/2) + 8·0 + D = 0     =>    D = -23/2


6x + 11y + 8z - 23/2 = 0

Los puntos de corte son:

Eje X  (tiene por ecuación y=0 , z=0)    =>   6x = 23/2    =>   x = 23/12
Eje Y  (tiene por ecuación x=0 , z=0)    =>   11y = 23/2    =>   y = 23/22
Eje Y  (tiene por ecuación x=0 , y=0)    =>   8z = 23/2    =>   z = 23/16

Los puntos son; A(23/12, 0, 0)   B(0, 23/22, 0)   y   C(0, 0, 23/16) y  O(0, 0, 0)

Ahora hay que sacar tres vectores que vayan de un punto a los otros tres. Tomamos para ello el O.

OA = (23/12, 0, 0)
OB = (0, 23/22, 0)
OC = (0, 0, 23/16)

El volumen es un sexto del determinante formado por esos tres vectores:

Calcula la recta que pasa por ese punto y es perpendicular al plano 6x + 11y + 8z - 23/2 = 0

Tomamos como punto el origen y como vector el del plano.

x = 6λ
y = 11λ
z = 8λ

Ahora vemos dónde corta la recta al plano:

Sustituimos las x, y , z de la recta en el plano:

6·6λ + 11·11λ + 8·8λ - 23/2 = 0   Despejas λ  y lo sustituyes en la ecuación de la recta, obteniendo el punto buscado.

Muchas Gracias!! Lo hice tmb como me dijiste y me salen los calculos, lo único que no entiendo es porque al calcular el volumen es un sexto¿? y el resultado que me da al calcular la proteccion ortogonal del punto O(0,0,0) es 23/442.

Mira esto:

Volumen tetraedro (Wiki)