Foros Ciencias Galilei

Hola, estoy atascado con un ejercicio de derivadas... A ver si me puedes echar una manita.

Tengo la función:

f(x)= x / (x²-9)

¿Sería correcta la siguiente derivada?:

f'(x)= (-x²-9) / (x²-9)²

Es que el ejercicio completo me pide:

- Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:  como -x²-9 < 0, entiendo que la función siempre es decreciente y me moquea no que haya intervalos de ambos tipos.

- Encontrar la derivada segunda y los intervados de concavidad y convexidad

- Clasificar los puntos críticos: como -x²-9 ≠ 0, entiendo que no hay puntos críticos y también me mosquea.

- Hacer una representación aproximada de la gráfica de la función

- Encontrar la primitiva

- Determinar el área limitada por y= f(x) y el eje de abcisas en el intervalo [-2,1]


Gracias!!!!!

Hola, bienvenido al foto. Completa tu perfil. Gracias.

f(x)= x / x²-9

          (x²-9)·1 - 2x·x        - (x² + 9)
f'(x) = ----------------- =  -----------   
                (x²-9)²               (x²-9)²

Los puntos de inflexión son los máximos y mínimos de la derivada. Hacemos lo propio pero con la derivada de f(x).

          (x²-9)²·(-2x) + 2(x²-9)·2x·(x² + 9)
f''(x) = -------------------------------------
                          (x²-9)⁴

Simplificando:

          (x²-9)·(-2x) + 4x·(x² + 9)         2x(x² + 9)
f''(x) = ---------------------------- = --------------
                          (x²-9)³                     (x²-9)³

f''        -                      +                   -                     +
-∞ ------------ -3* ------------ 0 --------------- 3* --------- +∞
f'      Decre               Crec                 Decre               Crec
f     Concav -           Concav +           Concav -         Concav +

x = 0 es punto de inflexión (la derivada tiene máx o mín)

En x = ±3 hay asíntotas verticales que se comportan como puntos de inflexión (en ellas la curva cambia de concavidad, su derivada de crecimiento)

f(x)= x / x²-9

La primitiva es:

∫x·dx /(x²-9) = ½∫2·x·dx /(x²-9) = ½·Ln (x²-9) = Ln √(x²-9) + Cte

La primitiva existe para x < -3   y   x > 3

1                                    1
∫x·dx /(x²-9) = ½·[Ln (x²-9)] = ½·[Ln (x²-9)]   ;  No existe Ln (2²-9)
-2                                    -2

Un  millón de gracias Galilei, pero sigo teniendo una duda. En teoría, una función es creciente en x=x0 si la derivada de la función en ese punto es más grande que 0. Por contra, si la derivada es menor que 0, la función será decreciente en ese punto. Si no me equivoco, la derivada de la función siempre arrojará un resultado negativo y, por lo tanto, la función será estrictamente decreciente.

Veo que tú indicas intervalos crecientes y decrecientes... En qué me equivoco????

Sí, pero si te fijas el intervalo de creciemiento de refiere a la derivada no a la función. Lo hago para hacerte ver que donde la derivada es creciente la curva es concava positiva.

En la tabla superior no aparece el signo de la derivada sino el de la segunda derivada.

Lo que indica la tabla superior es:

Donde la derivada segunda es positiva, la función derivada es creciente y la función es concava +
Donde la derivada segunda es negativa, la función derivada es decreciente y la función es concava -.

La función en sí es siempre decreciente porque su derivada es negativa. La derivada puede ser siempre negativa y crecer o decrecer. Donde crece la concavidad de f(x) es positiva y donde decrece es concava negativa. Si te queda alguna duda, pregunta.