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a) Cuestion: Sea A la matriz:



Para cada número natural n, hallar Aⁿ

Calcular A²² - 12A² +2A


b) Problema: Se considera el sistema de ecuaciones lineales
        x + 2y + 3z = 6
S= { 2x + 3y + 4z = 9
      3x + 4y + mz = 2(m+1)

¿Existe algún valor de m para el cual es sistema sea compatible indeterminado? En caso negativo razonar la respuesta. Si la respuesta es positiva hallar la solución del sistema en ese caso.


Me podrían explicar a que se refiere con sistemas, para tratar de buscar más información es que a lo mejor en mi país lo llamabamos de otra forma.
Gracias de antemano

Hola.

citar]Me podrían explicar a que se refiere con sistemas[/citar]

Sistema de ecuaciones es un conjunto de ellas a las que se debe dar solución. Esta solución (o soluciones) dependen del valor tomado para 'm'. Puede ser compatible determinado (una solución), compatible indeterminado (infinitas soluciones) e incompatible (sin solución).

¿Sabes lo que es el rango de una matriz?¿El teorema de Rouche frobenius?

Rango de matrices (personal5.iddeo.es)

Teorema de Rouché-Fröbenius (terra.es)

Si haces:

A·A = A² =   1   2a
                 0   1

A²·A = A³ =  1    3a
                 0    1


Aⁿ  =           1  n·a
                  0   1


A²² =    1   44
           0    1

A² =      1    4
           0    1


Ahora sólo tienes que realizar la operación matricial indicada:

A²² - 12A² +2A

Estudiamos el rango de los coeficientes. Para ellos hacemos el determinante de su matriz y lo igualamos a cero. Ese determinante es cero cuando m = -5

Si m ≠ -5   =>   Rango Coef = Rango Ampli = 3    =>   Sistema Compatible determinado

Si m = -5   =>   Rango Coef = 2

Hay que ver el rango de la matriz ampliada. Para ello vemos si es nulo el determinante:



El rango de la ampliada para m = -5 es tres. El sistema es incompatible por tener rango distintos.