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Hola, espero que me puedan ayudar, estoy comenzando con álgebra lineal y no entiendo muy bien, gracias por la explicación.

sea V el conjunto de parejas ordenadas (a,b) de numeros reales. Determina si V es un espacio vectorial sobre ℝ si las operaciones binarias "adición" y "multiplicación por escalar" se definen como:

i) (a,b)+(c+d)=(a+d,b+c) y  α(a,b)=(αa,αb)

ii) (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) y α(a,b)=(a,b)  ∀(a,b),(c,d)∈V, α∈ℝ

Tienes que probar que, con las operaciones definidas, los vectores cumplen con las propiedades:

Espacio Vectorial (Wiki)

¿Lo sabes hacer?

Por ejemplo, propiedad asociativa:

u + (v + w) = (u + v) + w

u ≡ (a,a')
v ≡ (b,b')
w ≡ (c,c')

                                                          por definición suma vectores  
u + (v + w) = (a,a') + ((b,b') + (c,c')) = (a,a') + (b+c,b'+c') = (a+b+c,a'+b'+c') =

(a+b,a'+b') + (c,c') = ((a,a')+(b,b')) + (c,c') = (u + v) + w

Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto a la suma de vectores:

β ∈ K
v ≡ (b,b')
w ≡ (c,c')

β (v + w) = β v + β w

β (v + w) = β ((b,b') + (c,c')) = β (b+c,b'+c') = (β (b+c), β (b'+c') ) = (βb+βc,βb'+βc') =

(βb,βb') + (βc,βc') = β (b,b') + β (c,c') = β v + β w

por ejemplo en el segundo ejercicio con la multiplicacion α(a,b)=(a,b)  ∀(a,b),(c,d)∈V, α∈ℝ en la propiedad de la cerradura con la segunda operacion no se cumple?

¿A qué llamas propiedad de la cerradura?