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hola ,tengo una duda sobre estos dos ejercicios , a ver si me podrian ayudar , gracias

Sea la funcion f: R² → R dada por:
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　3xy(y²-x²)
　　　　　　　　　　　　　　　-----------　si(x,y)≠(0,0)　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　f(x,y)=　  　x²+y²

　　　　　　　　　　　　　　　0　              si (x,y)=(0,0)　  


compruebe que las cuatro derivadas parciales: f_xx,f_xy,f_yx,f_yy existen en todo punto de R² , pero que f_xy≠f_yx , indique si esto contradice o no al teorema de clairaut , justificando su respuesta ..

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Supongamos que F(u,v) es una funcion que admite derivadas parciales continuas en R², entonces la tres ecuaciones F (u,v)= 0  ,  u=xy  y  v= √(x²+z²) definen una superficie S en R³ , la cual responde a f(x,y,z)=0 , donde f(x,y,z)= F(xy,√(x²+z²)), sabiendo que F(2,3) = 0 , Fu(2,3) = 4 y Fv(2,3) = 1 , verifique que el punto (2,1,√5) pertenece a S  y encuentre un vector normal a S en dicho punto .


nota: Fu = derivada parcial de F con resoecto a u
　　　Fv = derivada parcial de F  con respecto a v

　          　3xy(y²-x²)        3xy³ - 3x³y
f(x,y) =　------------- = ----------------
               　x²+y²              x²+y²

          (x²+y²)·(3y³ - 9x²y) - (3xy³ - 3x³y)·2x
∂f/∂x = ------------------------------------------- =
                            (x²+y²)²

  3x²y³ - 9x⁴y + 3y5 - 9x²y³ - 6x²y³ + 6x⁴y       -6x²y³ - 9x⁴y + 3y5 - 6x²y³ + 6x⁴y
= ----------------------------------------- = ------------------------------------=
                       (x²+y²)²                                                    (x²+y²)²

∂f/(∂x∂y) =

(x²+y²)²·(-18x²y²-9x⁴+15y⁴-18x²y²+6x⁴)-(-6x²y³-9x⁴y+3y5-6x²y³+6x⁴y)·2(x²+y²)·2y
-----------------------------------------------------------------------------------
                                    (x²+y²)⁴

Dividiendo por (x²+y²) (numerador y denominador):

(x²+y²)·(-18x²y²-9x⁴+15y⁴-18x²y²+6x⁴)-(-6x²y³-9x⁴y+3y5-6x²y³+6x⁴y)·4y
-----------------------------------------------------------------------------------
                                    (x²+y²)³

Operar y realizar del mismo modo las demás derivadas parciales. Es bastante engorroso hacer todo aquí.

Si las derivadas cruzadas existen y no son iguales debe de ser porque no son continuas en el intervalo definido para la función.

Teorema de Clairaut (Wiki)