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Pasar a paramétricas la ecuación:

x + y + z = 0

Otro:

x + y + z = 3
x - y + 2z = 2

Dada las ecuaciones paramétricas, sacar las implícitas:

x = 4λ
y = 2λ
z = λ

Pasar a paramétricas la ecuación:

x + y + z = 0

incognitas - ecuaciones = nº parámetros

3 - 1 = 2 parámetros

x = 0 - y - z

x = - λ - μ
y = λ
z = μ

Una base es (-1,1,0) (-1,0,1)   (los coeficientes de λ y μ en vertical)

Como sabes x + y + z = 0  es un plano y se puede dar por las ecuaciones implícitas o paramétricas.

Supongamos ahora que me piden lo contrario, pasar de paramétricas a implícitas:


x = - λ - μ
y = λ
z = μ

Un punto o vector pertenerá a esas ecuaciones si para todo (x,y,z) hay un λ y μ únicos que den esos valores (x,y,z). El sistema debe ser compatible determinado en λ y μ (que son ahora las incognitas).

Formamos la matriz:

-1  -1 | x
1   0  | y
0   1  | z  

La matriz de los coeficientes (los parámetros) tiene rango 2, luego para que tenga solución el sistema la ampliada debe tener el mismo rango 2. Para ello todos los 'menores' de tercer orden deben valer cero

 => x + y + z = 0

Esa es la ecuación implícita. Debe de ser 1 ya que:

incognitas - ecuaciones = nº parámetros   =>    ecuaciones = incognitas - nº parámetros = 3 - 2 = 1

Dime si te has enterao

Para sacar una base hay que ponerlas en paramétricas.

Me he enterado si esto es cierto:
x=λ
y=3λ-2β
z=λ+β
k=φ-λ

a implicitas, seria hacer el determinante:
1  0  0   x
3 -2  0  y
1  1  0   z
-1  0  1  k

-5x+y+2z (tiene que estar igualado a algo ?)

x + y + z = 3
x - y + 2z = 2

3 incog - 2 ecuc = 1 parametro.


x + y = 3 - z
x - y  = 2 - 2z

Resuelve el sistema como te de la gana, igualación, reducción, gauss, cramer y te sale:

sumando:

2 x = 5 - 3z    =>    x = 5/2 - 3/2 z

y = 3 - z - x = 3 - z - 5/2 + 3/2 z = 9/2 - 1/2 z

Llamamos a     z = λ

x = 5/2 - 3/2 λ
y = 9/2 - 1/2 λ
z = λ

Multiplicamos por -2 los coeficientes del parámetro.

x = 5/2 + 3 λ
y = 9/2 + 1 λ
z = -2λ

Ahora lo contrario:

3  | x - 5/2
1  | y - 9/2
-2 | z

Rango coeficientes 1. Para que la ampliada tenga rango 1 todos los menores de segundo orden deben valer cero =>

El determinante de las dos primeras filas igual a cero y el determinante de las dos últimas también igualado a cero. Da dos ecuaciones implícitas equivalentes a las iniciales (tienen las mismas soluciones)

Si. La matriz de los número tiene rango 3 porque es una matriz de 4x3 y para que tenga solución la ampliada (con los x,y,  ) debe tener rango 3 y por tanto el menor de cuarto orden debe de ser cero (su determinante)

A cero

Haz este:

Calcula una base del subespacio de R3 generado por los vectores cuyas componentes cumplen que:

x = 2y = 4 z

Solución:

Dada las ecuaciones paramétricas, sacar las implícitas:

x = 4λ
y = 2λ
z = λ

x = 4λ
y = 2λ
z = λ

3 incog - 1 param = 2 ecuac

Eliminamos parámetros:

λ = x/4
λ = y/2
λ = z

Igualamos:

x/4 = y/2 = z      Por 4

x = 2y = 4z

o bien, en general:

4  | x
2  | y
1  | z

Como la matriz de los coeficientes (parametros) es 1, la ampliada tiene que tener rango 1 para lo cual todos los menores de segundo grado han de ser cero:



De ahí salen dos ecuaciones quivalentes con las expuestas al principio. Las implícitas.