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Se considera el R-espacio vectorial R⁴. Sea S el subespacio de los vectores de componentes (a,b,c,d) tales que simultaneamente {a-b = b-c}

Halla una base de S
Halla las ecuaciones implicitas del subespacio T, definido parametricamente por T= ({(λ,λ+β,β,0}  :λ, β ∈ ℝ)
Halla las ecuaciones implicitas de la suma S+T y de la interseccion S∩T de S con el subespacio T.

Hola Boli,

Lo que me confundió anoche es el enunciado. (a,b,c,d) no son vectores sino compomentes de vectores. El enunciado debe estar mal copiado. Los he cambiado por (x,y,z,k) para mejorar la compresión.



x - y = y - z

y = ½ x + ½ z

x = 2λ           (elegimos λ = x/2 para que no aparezcan quebrados en los vectores)
y =  λ  +  β
z = 2 β          (elegimos β = z/2 para que no aparezcan quebrados en los vectores)
k = ρ

x = 2 λ + 0 β + 0 ρ
y = 1 λ + 1 β + 0 ρ
z = 0 λ + 2 β + 0 ρ
k = 0 λ + 0 β + 1 ρ


Una base es:

{(2,1,0,0) (0,1,2,0) (0,0,0,1)}

Como puedes comprobar {a-b = b-c} es decir la primera componente menos la segunda da lo mismo que la segunda menos la tercera.

Halla las ecuaciones implicitas del subespacio T, definido parametricamente por T= ({(λ,λ+β,β,0}  :λ,β∈ℝ)

x = 1 λ + 0 β
y = 1 λ + 1 β
z =  0λ + 1 β
k = 0 λ + 0 β

Hay que eliminar los parámetros:

Hay dos parámetros y cuatro incognitas (4-2) salen 2 ecuaciones:

Sustituyes la x y la z en la segunda ecuación:

y = x + z
k = 0

Una base de T es: {(1,1,0,0) (0,1,1,0)}

T => Ecuaciones implicitas de T
y = x + z
k = 0

S => Ecuaciones implicitas de S
x - y = y - z   =>   2y = x + z

La intersección está formada por los vectores de ambos subespacios. Deben cumplir los dos sistemas, el de S y T:

y = x + z
2y = x + z
k = 0

La única forma que se cumpla  que x + z = y = 2 y

es que y = 0 y x = -z

Lamamos z = λ

x = -λ
y = 0
z = λ
k = 0

Tiene dimensión 1 y una base es:  (-1,0,1,0)

Como puedes comprobar cumple todas las condiciones: x - y = y - z , y = x + z , k = 0

Ahora:

dim (S + T) + dim (S ∩ T) = dim S + dim T

dim (S + T) = dim S + dim T - dim (S ∩ T) = 3 + 2 - 1 = 4

La unión de las bases de S y T forman un sistema generador de S + T. Cogemos los que sean independientes y ontenemos una base:

De S → (2,1,0,0) (0,1,2,0) (0,0,0,1)
De T → (1,1,0,0) (0,1,1,0)

Forma la matriz formada por esos vectores y quédate con los que tenga rango 4 (su determinante no sea nulo). Tienes que coger forzosamente el (0,0,0,1) porque si no te queda nulo ya que la cuarta columna son todos cero. Luego coge ese vector y otros tres y comprueba que tienen rango 4 como se ha comentado.

(2,1,0,0),(0,1,2,0),(0,0,0,1),(1,1,0,0) L.I. (det=2)

x= 2λ + 0β + 0ρ + 1φ
y= 1λ + 1β + 0ρ + 1φ
z= 0λ + 2β + 0ρ + 0φ
k= 0λ + 0β + 1ρ + 0φ

Asi? por ejemplo? (no sabia muy bien que hacer con el cuarto vector).

Menos mal que tengo un ejemplo, voy a intentar hacer otros ejercicios parecidos a estos, de los otros examenes que hice. Muchas gracias, me sirve de mucho.

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Tengo otra duda, pero esta es mas pequeña jeje.
Me dicen que razone la veracidad de unas afirmaciones, y una de ellas es esta:

La suma de los subespacios de R³:
U=<(9,10,11),(4,5,6)>
W=<(1,2,3),(6,7,8)>
es igual a su interseccion.

Y de aqui me doy cuenta de que no se sumar subespacio ni hacer insterseccion. Cuando busco por el libro, me lo pone en lenguaje matematico, que al final no entiendo.

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Y si por ejemplo las parametricas son:
(a,3a-2b,a+b,c-a)
x=a
y=3a-2b
z=a+b
k=c-a

y=3x-2b
z=x+b
k=c-x
pero no se seguir