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Hallar el área de un círculo de coordenadas cartesianas de centro (a,b) y de radio R por medio de integración.

Hola,

Se supone que es por practicar un poco con las integrales porque si no es una tontería. Se podría calcular el área de la misma circunferencia en forma reducida (centrada en el origen) y no cambiaría nada:

x² + y² = R²   =>    y = √R²-x²

         _R
A = 2·∫√R²-x² · dx
        ^-R

El cambio que se debe hacer es x = R·sen t   =>   dx = R·cos t·dt

Si lo quieres como viene en el dibujo la cosa se complica:

(x - a)² + (y - b)² = R²

(y - b)² = R² - (x - a)²

y - b = √(R² - (x - a)²)

y = √(R² - (x - a)²) + b

Ahora sería:

 _a+R
 ∫√(R² - (x - a)²) + b - (-√(R² - (x - a)²) + b)  dx
^a-R

       _a+R
=   2·∫√(R² - (x - a)²)  dx
     ^a-R

Ahora haríamos el cambio:  x - a = x'

así x = a-R   se convierte en x'=-R    y   x = a+R  en  x' = R

quedando:

        _R
=   2·∫√(R² - x'²)  dx
       ^-R

que es lo que comentábamos al principio.

Leete las normas para aprender a subir los gráficos a nuestro servidor ('Subir imagen') y poner superíndices y demás...

Bueno, no sé el motivo de que estándo integrando en función de x defina en y la integral.

    También me gustarías que explicara el cambio de limites que se va a de producir, y que llegará al resultado final, que dudo que se produzca con los límites que ha establecido. De todos formas para explicar a un bachiller  creo que da mucho por supuesto.

    Brillante y sumamente sencilla la forma en que ha sacado las raíces de y, yo lo hubiera planteado como las raíces de una ecuación de segundo grado.

    También se podía haber resulto más fácilmente de manera angular,  es decir :

    dA= 1/2 r r dβ ; A = ∫^2∏₀ 1/2 r² dβ , pero no era el caso que se proponía.
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Hola,

Pero es que tengo el problema de casi siempre, no has completado tu perfil con lo que no se si haces 1º o 2º de bachillerato. Si es primero, se han pasado y si es segundo, no suele darse la forma polar en ese nivel (no creo que esté en el programa).



Se suele integrar ∫f(x)·dx  donde  y = f(x)  aunque también se puede hacer al revés.



¿Por qué lo dudas? ¿Qué límites hay que poner?



Pero por el gráfico que has puesto parece que esa no era buena idea.

No creo haber tenido un lapsus, pero creí haber visto que definía la integral entre b-R y b+R, apreciando ahora los correctos.

     Ya indicaba que esa no era la idea.

      Me interesaba ver como establecía los límites al sustituir x'= rsent o x'= rcost, o que sustitución considera más conveniente.

      Saludos.

El lapsus lo tuviste cuando hiciste el gráfico que subiste. En el eje x pusiste 'b' y en el eje y, 'a'; en el enunciado 'punto (a,b)'. Eso me confundió.



Se puede hacer la integral con los cambios pertinentes, posteriormente deshacerlos y, finalmente, sustituir los límites de integración. En el mensaje los cambié para que vieras que era lo mismo hacer la integral definida en el punto (a,b) o en el (0,0).

Nota: Sigues sin completar tu perfil.

Tiene toda la razón despues de comprobar el gráfico inicial el error es mio, le ruego que me disculpe

    Me gustaría ver a que cambio recurre para resolver si no le importa, y como efectúa el cambio de límites.

   Está bien mi perfil en bachillerato, en matemáticas soy un aficionado a ese nivel.

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¿Conoces el método de integración por partes?

Por supuesto.

_R
∫√R²-x² dx =
^-R

x = R·sen t   =>   dx = R·cos t dt

= √R²-(R·sen t)² R·cos t dt = R²·∫√(1-sen² t)·cos t·dt = R²·∫cos² t dt =

Esta integral se hace por partes o sustituyendo el cos² t por ½·(1 + cos 2t) (identidad)

= R²·(t/2 + (1/4)·sen 2t) = R²·F(t)

Cambiando los límites de integración:

Para x = -R  => -R= R·sen t   => sen t = -1 =>  t = -π/2
Para x = R  => R= R·sen t   => sen t = 1 =>  t = π/2

F(-π/2) = -π/4 + (1/4) sen (-π) = -π/4
F(π/2) = π/4 + (1/4) sen (π) = π/4

Aplicando Barrow.

   _R
2·∫√R²-x² dx = R²·[F(π/2) - F(-π/2)] = 2·R²·(2·π/4) = π·R²
 ^-R