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hola.

Agradeceria ayuda con estos ejercicios. no entiendo geometricamente como seria una proyeccion respecto a una recta.

a) Dar una transformación lineal en R² que defina una simetría con respecto a la recta 3x - 2y = 0
b) Dar una transformación lineal en R² que defina una proyección a la recta 3x - 2y = 0

Hola,

Llamaremos (a,b) al punto  y (a',b') a su simétrico respecto de la tecta 3x - 2y = 0 (y = 3x/2)

Se cumple que:

½ [(a',b') + (a,b)] = (x,y)  (punto medio)  =>   (a',b') = 2(x,y) - (a,b)     [**]

siendo (x,y) el punto de corte de la recta dada con la perpendicular que pasa por (a,b). Vamos a calcular ese punto de corte:

Una recta perpendicular a la anterior que pase por (a,b) sería:

y - b = -(2/3)(x - a)  =>   y = -2x/3 + 2a/3 + b

y queremos ver dónde corta a y= 3x/2 . Resolvemos:

y = -2x/3 + 2a/3 + b = -2x/3 + 2a/3 + b = 3x/2

Multiplicamos por 6:

-4x + 4a + 6b = 9x     =>   13x = 4a + 6b     =>    x = (4/13)a + (6/13)b

Como y =  3x/2 = (12/26)a + (18/26)b

Nos vamos a [**]

(a',b') = 2(x,y) - (a,b) = ((8/13)a + (12/13)b - a, (24/26)a + (36/26)b - b) =

((-5/13)a + (12/13)b, (24/26)a + (10/26)b) = ((-5/13)a + (12/13)b, (12/13)a + (5/13)b)

Que escrito en forma matricial:

Llama u a un vector unitario que tenga la dirección de la recta sobre la cual quieres proyectar el vector v:

Proy_u v = [(v·u)]·u

(v·u) = k es un escalar, al multiplicar por u tenemos un vector (ku).

un vector unitario que tenga la dirección de la recta es:

(2/√13, 3/√13)


Sea (a', b') las componentes del vector proyectado del (a,b):

(a',b') = [(a,b)·(2/√13, 3/√13)]·(2/√13, 3/√13) =

[(2a/√13 + 3b/√13)·(2/√13) , (2a/√13 + 3b/√13)·(3/√13)] =

[(4/13)a + (6/13)b , (2√3/13)a + (3√3/13)b]

Que en forma matricial es:



Nota: Revisa que este no lo he comprobado.