Foros Ciencias Galilei

Lim  [1-cos² (2x)]/(3x²)
^x→0


Lim [Ln (e^x + x³)]/x
^x->0

Lim  (1-cos² (2x))/(3x²)
^x→0

Derivando numerador y denominador:

      4·cos (2x)·sen (2x)
Lim --------------------- =
^x→0           6x

Por trigo sabemos que sen (2x) = 2·sen x·cos x  =>   sen (4x) = 2·sen (2x)·cos (2x). Cambiando antes de derivar de nuevo:

           2·sen (4x)          2·4·cos (4x)
= Lim ---------------- = -------------- = 4/3
 ^x→0         6x                      6



O lo que es lo mismo:

sen² (2x) + cos² (2x) = 1   =>    1 -  cos² (2x) =  sen² (2x)

       (1 - cos² (2x))              sen² (2x)
Lim --------------------- = --------------- =
^x→0           3x²                         3x²

Derivando:

           4·sen (2x)·cos (2x)
= Lim  -----------------------
 ^x→0             6x

y desde aquí se sigue igual.

Lim [Ln (e^x + x³)]/x =
^x->0

La derivada del numerador es:

   e^x + 3x²
---------------
   e^x + x³

La del denominador es 1.

           e^x + 3x²       1 + 0
= Lim    ---------- = --------- = 1
 ^x->0    e^x + x³         1 + 0

Mírate el problema de optimización de nuevo que se me olvidó ponerte la imagen (bonita) que te hice.

Hola, estaba viendo este ejercicio que te preguntó Fergo,


es lo mismo resolverlo sabiendo que (senx)/x=1 y simplificando?

Lim  (1-cos² (2x))/(3x²)
x→0

dá una indeterminación del tipo 1/0 (un número sobre cero no es infinito? a pesar de eso es una indeterminación?)

Derivo como lo explicó usted, quedando,

Lim_x→0(4sen(2x).cos(2x))/6x
                                   

si sé que (senx)/x=1
y simplifico los 2x con el 6x, quedando:

Lim_x→0(4senx.cosx)/3x
                                 

al reemplazar por cero quedaría:

(4.1.1)/3.1=4/3

porque en esta parte me hice lío..