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1.- Calcula los puntos sobre la curva y·x³ = 4 que se encuentren a distancia mínima del origen de coordenadas.

Hola,

La distancia de un punto (x,y) al origen es:

d = √(x² + y²)

Esta función ha de ser mínima cuando sustituyamos 'y' por 4/x³

d(x) = √(x² + (4/x³)²) = √(x² + 16·x^-6)

Derivamos aplicando la derivada de uⁿ que es n·u'·u^n-1:

d'(x) = ½·(x² + 16·x^-6)^-1/2·(2x - 96·x^-7) =

         2·(x - 48/x⁷)
= ---------------------- = 0   (condición necesaria de máx o mín)
     2·√(x² + 16/x⁶)

x - 48/x⁷ = 0   =>   x⁸ = 48     =>   x = ⁸√48

Para calcular 'y' pon esa 'x' en la función: y·x³ = 4


Comprueba que la derivada cambia de signo para ese valor de x (de menos a más → mínimo)