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Buenas.

Más que una duda se trata de que no entiendo lo que han hecho para integrar estas ecuaciones y eso que aparentemente son fáciles. Creo que son inmediatas, y estoy convencido que no es para tanto, pero es que llevo horas y no lo veo. Ahi van:

  ∫ senxcosx dx = (1/2)sen²x + C

  ∫ (sen² x/2)(cos x/2)·dx = 2∫ (sen² x/2)·(cos x/2)(1/2) dx = (2/3)sen³(x/2) + C

1 Saludo y gracias por todo.

Cuando uno deriva un paréntesis elevado a n y fuera de él está la derivada del mismo, la solución es inmediata ya que:

y = uⁿ    =>   y' = n·u'·u^n-1

Luego:

u' se convierte en du  (la integral es lo inverso de la diferencial, no de la derivada)

∫n·du·u^n-1 = n·∫du·u^n-1 = uⁿ   (se le suma 1 al exponente y se divide por él)

Dicho de otra manera:

∫uⁿ·du = uⁿ⁺¹/(n+1)

En la integral que has puesto, si llamamos u = sen x   =>  du = cos x·dx , sustituyendo:

∫senx·cosx dx = ∫u·du = u²/2 = ½·sen²x + Cte

El cos x es la derivada del sen x. Luego estamos en el caso explicado, una función elevado a uno en este caso y su derivada multiplicando.

En este caso (igual al anterior) nos falta una cte para obtener la derivada de 'u'. En ese caso se puede poner dentro el número que nos falte multiplicando y dividir fuera de la integral por su inverso. Las ctes no se integran (salen fuera de las integrales).

La derivada del (sen ½·x)²   es   2·½·sen ½·x

ya que la derivada del sen u es u'·cos u. El 2 es el exponente y el ½ es la derivada de ½·x.

Llamamos u = sen ½·x     du = ½·cos ½·x·dx   =>   cos ½·x dx = 2·du

sustituyendo cada cosa:

∫(sen² x/2)(cos x/2)·dx = ∫u²·2·du = 2·∫u²·du = 2·u³/3 + Cte = (2/3)·sen³ ½·x + Cte

Nota:

Te he corregido en el enunciado la solución.