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hola
el problema es el siguiente:

De una maquina de atwood cuelgan dos cuerpos m₁ y m₂ ,ambos suspendidos a la misma altura h. Un resorte r de constante k ,se encuentra de un extremo unido a m₁ y del otro extremo al suelo. Cuando el sistema se deja en libertad el resorte esta estirado una longitud x. La polea P es cilindrica y  su masa M.

a)calcular el modulo de la velocidad de m₂ cuando llega al suelo
b)cual seria el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento
en el eje de la polea si se detiene justo al llegar al suelo?

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 Este es el planteo que hice
 energia inicial
energia cinetica : Eci₁=Eci₂=EciP=0
 energia potencial (aqui es donde tengo mis dudas) :
      Epi₁=m₁×g×h  ó  0 ?
      Epi2=m₂×g×h  ó  −m₂×g×h ?
      Epi r=½k×x²

energia final
  energia cinetica
 Ecf₁=½m₁×V²     Ecf₂=½m₂×V²   EcfP=½I×ω²
 energia potencial
 Epf₁=½m₁×g×2h ó ½m₁×g×h (esto ultimo en el caso de que Epi₁=0)?
 Epf₂=0 ?
 Epf r=½k(x+h)²

luego planteo Ei=Ef  pero no llego al resultado (aca no especifiqué los valores de cada componente del sistema en particular), agradeceria que  alguien me ayude en cuanto al planteo de las energias potenciales, sobre todo)

Yo lo plantearía asi:

Por el Teorema TE, el trabajo hecho por las fuerzas no conservativas es igual al cambio de la energia cinetica mas potencial, pero como no hay fuerzas no conservativas, tenemos que:

0=∆(Ec+Ep+Ecrot)

Ahora, puedes plantear este principio para cada masa o reducirlo en una misma ecuacion (que es equivalente a sumar a ambas ecuaciones por separado). Voy a tomar el cero de energia potencial en la latura h en donde los cuerpos inician, así:

-Para la masa 1:

Ec0=0, ya que está quieta.

Ecf= 1/2m₁V²

Ep0=0, ya que alli está el cero de referencia.

Epf=-m₁gh, ya que la altura está por debajo del cero de referencia.


-Para la masa 2, siguiendo los mismo razonamientos:

Ec0=0

Ecf= 1/2m₂V², ya que las velocidades finales son la misma en módulo.

Y la energia potencial se divide en dos, la gravitacional y la del resorte, entonces:

Ep0_grav=0

Epf_grav=+m₂gh, ya que está por encima del cero de referencia.

Ep0_res=0, ya que el resorte no se ha estirado

Epf_res=1/2kx²

Recuerda que Ecrot=1/2Iw²

Ahora, reemplazando y factorizando tenemos:

0=1/2(m₁+m₂)V²+(m₁-m₂)gh+1/2(kx²+Iw²)

Entonces:

1/2(m₁+m₂)V²=(m₂-m₁)gh-1/2(kx²+Iw²)

Y solo es despejar la velocidad.

Respuesta a Jorge a pregunta realizada en el chat. ¿qué ocurre si las dos masas son iguales?

Energía antes:

Energía elástica  ½Kx²
Energía potencial m₂   m₂·g·h


Energía después:

Energía elástica  ½K(x+h)²
Energía cinética de ambos cuerpos   ½V²(m₁ + m₂)
Energía potencial m₁     m₁·g·h
Energía rotación polea    (1/4)Mp·V²
Trabajo rozamiento polea Wr (en el primer caso suponemos que es cero)

½Kx² + m₂·g·h = ½K(x+h)² + ½V²(m₁ + m₂) + m₁·g·h + (1/4)Mp·V² + Wr


Si m₁ = m₂ en (x+h) hay que poner (x-h) porque el muelle tira de los cuerpos y disminuye su elongación.

½Kx² = ½K(x-h)² + V²m + (1/4)Mp·V²

V²(m + Mp/4) = ½Kx² - ½K(x-h)² =  Kxh - ½Kh² = Kh(x-½h)

V² = Kh(x-½h)/(m + Mp/4)

muchas gracias jorge y galileo por la resolucion de este ejercicio. a partir de lo que habia resuelto jorge (el lo planteo para energia potencial del resorte inicial nula) estaba tratando de resolverlo pero tuve un problema en el signo de la Ep del resorte inicial y no llegaba al resultado.Saludos

Voy a replantear mi respuesta, ya que no habia tenido en cuenta que al principio la elongacion era x.

La ecuación queda:

0=1/2(m₁+m₂)V²+1/2k(x+h)²-1/2kx²+(m₁-m₂)gh+1/2Iw²
=>

1/2(m₁+m₂)V²=(m₂-m₁)gh-kxh-1/2kh²-1/2Iw²

Ahora tomo w²=(V/Rp)², con Rp=Radio de la Polea, pero I=MRp entonces 1/2Iw²=1/2MV²


(m₁+m₂+M)V²=(m₂-m₁)gh-1/2kh(2x+h)

Esto me queda ya que:

-Para m₁:

Eelas₀= 1/2kx² ; Eelas_f= 1/2k(x+h)² => ∆Eelas= 1/2hk(2x+h)

Ep0=0 ; Epf= m₁gh

-Para m₂:

Ep0=0 ; Epf=-m₂gh

Y cuando pongo esto, me resulta el término (m₁-m₂)gh, y como se ve en la expresion de la energia, si las masa son iguales la velocidad me da compleja...en que he fallado?

Si las masas son iguales, el resorte se contrae, pasa de x a x-h.

Ok, ya lo he visualizado. Pero si mi planteamiento esta bien, por qué no sale ese caso particular?..

Sale bien si 2x+h es negativo, es decir h lo tienes que poner negativo. Porque sino estás diciendo que tienes un muelle estirado y al colocarle dos masas iguales en una polea se estira más (x+h), cuando lo que ocurre es que el muelle tira del sistema hacia abajo disminuyendo su elongación (x-h).

Lo he pensado de la siguiente manera:

Cuando voy a expandir 1/2k(x+h)²-1/2kx², hay q hacerlo por medio de la definicion de trabajo (implicitamente), es decir, usar la forma vectorial:

1/2k(x+h)²-1/2kx²= 1/2k(x+h)·(x+h)-1/2kx·x=1/k(llxll²+llhll²+2x·h-llxll²)

Con lo que la solucion quedaria:

(m1+m2+M)V²=(m2-m1)gh-1/2k(2x·h+llhll²)

Ahora bien, si las masas son iguales, x>h pero tienen sentido contrario, por lo que h<x·h<0 => -1/2k(2x·h+llhll²)>0

Justo, lo que te decía.