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Hola!
Le dejo aqui un parde de problemas de algebra lineal de primero de carrera haber si me lo podrias solucionar.

1)Analizar la dependencia o independecia lineal de los siguientes sistemas de vectores:

a) {(2,-2,5,6), (-1,-2,3,2), (-1,-3,0,5), (6,1,3,0)} de {ℝ⁴,+,·}

b){1-x², 3-x²,3x²-4x³} de {ℝ₃,+,·}


2) Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que los vectores del espacio vectorial sean linealmente
dependiente es x₁·y₂-x₂·y₁=0. Donde x=(x₁,x₂) e
y=(y₁,y₂)

La definición de Dependencia Lineal es la siguiente:

Sea v=〈v₁,v₂,..,v_n〉un conjunto de vectores ∈ Rⁿ y sean a₁,a₂,...,a_n ∈ R (esalares). Se dice que el conjunto V es Linealmente Dependiente (LD) si los elementos de V se pueden escribir como combinación lineal de la siguiente manera:

∑a_iv_i=0

Sin que todos los a_i sen cero.

Si un conjunto no es LD es Linealmente Independiente (LI)

Ahora bien, tenemos tu conjunto:

{(2,-2,5,6), (-1,-2,3,2), (-1,-3,0,5), (6,1,3,0)}

Y vamos a ver si es LI o LD, para ello apliquemos la definición,con a,b,c,d ∈ R:

a(2,-2,5,6)+b(-1,-2,3,2)+c(-1,-3,0,5)+d (6,1,3,0)=0

Esto, nos conduce a las siguientes ecuaciones (por simple suma de vectores-componente a componente-):



Al resolverlas para a,b,c,d, pueden pasar dos cosas: a=b=c=d=0, luego el conjunto es LI ó si al menos una de ellas no es cero, el conjunto es LD.

Esto te puede ayudar:

Hola,

a) {(2,-2,5,6), (-1,-2,3,2), (-1,-3,0,5), (6,1,3,0)} de {ℝ⁴,+,·}

De una manera prática, haz el determinante (4x4) formado por esos vectores. Si el resultado es cero es que son dependientes, en caso contrario independiente. En el caso de dependencia, y si quisieras esdribir uno de ellos en función de los demás, se puede hacer lo recomendado por Jorge.

Lo mismo para los polinomios, ordenados anteriormente.

Por las propiedades de los determinantes sabemos que si una fila o columna es proporcional a otra entonces el determinante es nulo


x₁·y₂ - x₂·y₁ = 0

Esta condición es de dependencia.

Otra forma es:

Dependiente (proporcionales):

(x₁,x₂) = λ·(y₁,y₂)

λ = x₁/y₁ = x₂/y₂   =>  x₁·y₂ = x₂·y₁   =>    x₁·y₂ - x₂·y₁ = 0

Muchas gracias.

Perdome pero me podrías hacer el favor de realizarme del ejercicio uno el apartado b medienta el procedimiento de matriz.

Gracias de nuevos. Eres incureible

{1-x², 3-x²,3x²-4x³} de {ℝ₃,+,·}

a(1-x²) + b(3-x²)+c(3x²-4x³) = 0

a + 3b = 0
-a - b + 3c = 0
-4c = 0

Este es un sistema homogeneo. Para que sean dependientes el determinante de los coeficientes tiene que valer cero. Así el rango será 2 y las incognitas 3. Si fuese distinto de cero el rango sería 3 con el mismo número de incognitas (homogeneo) y la única solución posible es la trivial (0,0,0) y por tanto independiente: