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Tengo duda en resolver algunos ejercicios sobre desigualdades y funciones. No quiero que me lo resuelvan, porque lo quiero resolver yo, pero solamente necesito buscar algún libro o referencia donde te expliquen muy bien las desigualdades de polinomios y valores absolutos  de 1º de ingeniería, y las funciones elementales, ya que las referencias del profesor son muy escasas y el trabajo lo tenemos que hacer nosotros. ¿Qué me aconsejais?

Mi duda son estos dos problemas:

1. Dado un número entero N, justifica que la función f:[N(pi)-pi/2, N(pi)+pi/2]->R dada por f(x) = senx es inyectiva y expresa la inversa de f por medio de la función arcoseno. Representar arcsen(senx) para x pertenece al intervalo [-3(pi)+pi/2, 3(pi) + pi/2]

2. Justifica usando las propiedades de la función exponencial, h: R -> R dada para todo x son todos los números R por h(x)= (e^x-e^-x)/2  y es estrictamente creciente. Calcula su inversa.

Gracias.

Hola.

Una función es creciente si su derivada es positiva.

y = ½·(e^x - e^-x)

y' = ½·(e^x + e^-x)

como a^x > 0    para a>0 y ∀x∈ℝ

Los dos sumandos, e^x y e^-x son ambos positivos luego y'>0 => y es creciente.


Para hallar la inversa hacemos e^x = t   => e^-x = t^-1 = 1/t

y = ½·(e^x-e^-x) = ½·(t - 1/t)

2y = t - 1/t      multiplicando por t:

2yt = t² - 1

0 = t² - 2yt - 1 .Ecuación de segundo grado cuya solución es:

     
t = y ± √y²+1

Tomamos el signo + porque t (que es e^x) tiene que ser positivo:

Estamos con que:

t = e^x = y + √y²+1

Aplicando Ln a ambos lados:

x = Ln (y + √y²+1)

Cambiando x por y:

y = Arcsenh = Ln (x + √x²+1)


Por favor, mírate esto para aprender a poner superíndices. Gracias

No entiendo eso de [n(π) ..., ¿es π²?

f:[n(π)-π/2, n(π)+π/2] = f:[n²-π/2, n²+π/2]

y esto:

Representar arcsen(senx) = x ?

Dado un número entero N, justifica que la función f:[n*pi-pi/2, n*pi+pi/2]->R dada por f(x) = senx es inyectiva y expresa la inversa de f por medio de la función arcoseno. Representar gráficamente la función arcoseno en el intervalo [-3*pi+pi/2, 3*pi + pi/2]

Perdona, me habré equivocado de signo, queria poner el signo PI

No sé si será correcto, pero, ¿No se puede verificar también el ejercicio de la siguiente manera?

Una función es estrictamente creciente en un intervalo si f(x₁) ≤ f(x₂)
Siendo x1 < x2, entonces verifico:

f(x) corta en el origen, entonces estudio los intervalos (-∞,0) y (0,+∞):

f(-1)<f(0), por tanto, en dicho intervalo es estrictamente creciente

f(0)<f(1), por tanto, en dicho intervalo es estrictamente creciente

Por tanto la función es estrictamente creciente en todo su dominio.

No se si es correcto o se puede deducir así  

Sí, se puede pero es mucho más cómodo utilizar el criterio de:

La f es creciente si f'>0 y decreciente si f'<0

y si no compruebalo con x², por ejemplo.

Contestando a Stranford se me ha ocurrido la respuesta para el primer problema. Para demostrar que es inyectiva hay que probar que cumple que:

Si f(x) = f(y) => x = y

Para ello una linea horizontal no debe cortar a la gráfica en más de un punto. Esto ocurriría si la función es creciente (o decreciente) en ese intervalo. Luego para probar que es inyectiva basta con hacer la derivada y ver que es positiva o negativa en todo el mismo. Es decir, que la derivada no cambie de signo en el intervalo a estudiar.