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Factorizar los siguientes polinomios:

P(x) = -4x³-4x²+x+1

Q(x) = x⁴+6x³+8x²-6x-9

R(x) = 2x³-3x²-8x-3

U(x) = -4x²+8x-4

P(x) = -4x³-4x²+x+1

Se buscan las raíces del polinomio por Ruffini. Una posible solución son los divisores del término independiente. En este caso 1 y -1

Probamos con -1:

　　-4　　-4　　1　　1
-1　　　　 4　　0　　-1
---------------------------
　　-4　　0　　1　　0

Da de resto 0 y de cociente -4x² + 1. Luego:

P(x) = (x+1)·(-4x² + 1) = ***

-4x² + 1 = (1 - 4x²) = (1 - 2x)(1 + 2x)　　(diferencia de cuadrados → suma por diferencia)

*** = (x+1)·(1 - 2x)(1 + 2x)

Q(x) = x⁴+6x³+8x²-6x-9

Probamos con los divisores del 9. Empiezo por el 1:

　　1　　6　　8　　-6　　-9
1　　　　1　　7　　15　　9
-----------------------------
　　1　　7　　15　　9　　0

Q(x) = (x-1)·(x³+7x²+15x+9) = ***

Seguimos con este segundo polinomio. Probamos con -1:

　　1　　7　　15　　9
-1　　　-1　　-6　　-9
------------------------
　　1　　6　　9　　0

*** = (x-1)·(x+1)·(x²+6x+9) = (x-1)·(x+1)·(x+3)²

Hola no entiendo por que aplicas la diferencia de cuadrados y por que aplicas ruffini, yo pensé que había que sacar las posibles raíces del término principal, y luego ir probando con sustitución hasta que me de cero. Pero luego de hacer eso ya no se que hacer.

Para descomponer un polinomio hay que hallar las raíces de éste. Se llaman, también, ceros y son los valores que lo anulan. Hay veces que para saber el valor que anula a un polinomio no hace falta aplicar Ruffini. Por ejemplo:

P(x) = x² - 4 = (x - 2)·(x + 2)

Diferencia de cuadrados es suma por diferencia.

También podríamos hacer:

x² - 4 = 0 => x² = 4 => x = ±2 (estas son sus raíces)

Otro ejemplo:

Q(x) = x³ - 9x = x·(x² - 9) = x·(x - 3)·(x+3)

No siempre las raíces salen por Ruffini, en general antes se mira si se pueden sacar de forma inmediata como en los ejemplos anteriores.

En las ecuaciones de segundo grado es mejor aplicar la fórmula porque ésta me da las raíces sin tener que probar ningún número.

OK pero yo no se diferenciar cuando aplicar Ruffini y cuando no. Por ejemplo este caso se puede resolver sin Ruffini?

R(x) = 2x³-3x²-8x-3

Y este otro?

-4x²+8x-4

Gracias

R(x) = 2x3-3x2-8x-3

En este no hay más remedio que utilizar Ruffini:

Probamos con -1:

　　2　　-3　　-8　　-3
-1　　　　-2　　5　　3
---------------------------
　　2　　-5　　-3　　0

R(x) = (x + 1)·(2x²-5x-3)

La ecuación de segundo grado la podemos hacer por la fórmula o seguimos aplicando Ruffini. Probamos con 3:

　　2　　-5　　-3
3　　　　6　　　3
----------------------
　　2　　1　　0

R(x) = (x + 1)·(2x²-5x-3) = (x + 1)·(x -3)·(2x + 1) = 2·(x + 1)·(x -3)·(x + ½)

---

U(x) = 4x²+8x-4 = 4·(x²+2x-1)

Este lo vamos a hacer aplicando la Ec de segundo grado:

x²+2x-1 = 0

　　-b ± √(b²-4ac)
x = ---------------
　　　　　2a

　　-2 ± √(4+4)　　　　-2 ± √8　　　-2 ± 2·√2　　　
x = --------------- = ---------- = ------------- = -1 ± √2
　　　　　2　　　　　　　　　2　　　　　　2

U(x) = 4x²+8x-4 = 4·(x²+2x-1) = 4·(x + 1 - √2)·(x + 1 + √2)

Este último no te habría salido por Ruffini, no se te habría ocurrido probar esos números.

Greygoose, completa tu perfil y leete las normas para aprender a escribir las potencias y demás recursos. Si no lo haces tú tengo que hacerlo yo. Gracias.