Foros Ciencias Galilei

Buenas a Todos!
Tengo dos problemas literalmente hablando.

Sé que son indeterminadas del tipo 0·∞ y ∞⁰ respectivamente, pero no sé cómo resolverlos bien:

Lim sen x·Lx
^x→0

Lim (1/x)^{Ln (1+x)
x→0}

Al ejercicio 1 lo transformo en un cociente. Pero no se bien cual elemento hacerlo denominador!!!
Al ejerciocio 2 le agrego un ln para bajar el exponente y despues transformarlo un un cociente y de ahi no sale mas nada!

Desde ya muchas gracias por la colaboracion; ya he gastado una resma de hojas probando y probando una resolución, seguro hay algo que nose.
De nuevo muchas gracias, saludos a todos!!!
nico

Lim sen x·Lx = 0·∞
^x→0

Lim Lx / csec x

NUMERADOR: Ln x → 1 / x

DENOMINADOR: 1 / sen x → - cos x / (sen² x)

Luego:

Ln x / csc x → - sen² x / (x · cos x) = - [ (sen x) / x] · (sen x / cos x)

Sabemos que cuando "x → 0", sen x / x → 1
Y sen x → 0, cuando "x → 0"

Luego el límite tiende a "cero".

o bien, vuelves a aplicar L'Hôpital:

NUMERADOR: - sen² x → - 2 sen x cos x

DENOMINADOR: x cos x → cos x - x sen x

- 2 sen x cos x
-------------------
cos x - x sen x

Aquí también: mientras que el numerador tiende a "0", el denominador tiende a "1". Luego, el límite pedido tiende a cero.


Saludos

Entonces se  puede usar las propiedades de limites notable en ejercicios de L´Hopital?
Y tengo una duda exixtencial...
¿Por qué a los Limites Notables se les llama "Notables"?

Yo no los he llamado nunca límites notables, son infinitésimos equivalentes (pero es verdad que también los llaman así):

Lim sen x = Lim x
^x→0

Hay que tener en cuenta que x es una aproximación de sen x cuando x → 0. Yo diría que hay que tener cuidado de cuando se aplica las equivalencias (no te sabría decir con exactitud cuando no se deben aplicar).

A = Lim (1/x)^{Ln (1+x)
x→0}

Ln A = Ln (Lim (1/x)^{Ln (1+x)}) = Lim (Ln [(1/x)^{Ln (1+x)}]) = Lim (Ln (1+x)·Ln (1/x)) =

　　　Ln (1/x)
Lim ---------------- =
　　　1/Ln (x+1)

　　　-1/x
Lim ---------------------- =
　　-1/[(1+x)·Ln² (1+x)]

　　(1 + x)·Ln² (1+x)
= -------------------- = 0/0
　　　　　　x

Volvemos a derivar:

　　2·Ln (1+x) + Ln² (1+x)
= -------------------------- = 0
　　　　　　1

Como Ln A = 0 => A = e⁰ = 1

---

Por infinitésimos equivalentes sabemos que Ln (1+x) ≅ x (cuando x→0)

Ln A = Lim (x·L(1/x)) = Lim [L(1/x) / (1/x)] = Derivamos (∞/∞)

　　 -1/x
Lim --------- = Lim x = 0
　　　-1/x²

A = e⁰ = 1

Si x → 0 entonces se dan las siguientes equivalencias (infinitésimos equivalentes)

sen x ~ x

tg x ~ x

arcsen x ~ x

arctg x ~ x

1 - cos x ~ x²/2

(1 + p·x)^(1/x) ~ e^p (p>1)

(1 + x)^k - 1 ~ k·x (k>1)

Ln (1 + x) ~ x

a^x - 1 ~ x·Ln a

ⁿ√1 + x -1 ~ x/n

Galilei
MUCHAS GRACIAS  por los ejercicios resueltos!

saludos
nkr3