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Se lanza una moneda no trucada 6 veces. Calcula:

a) La probabilidad de que salgan exactamente 3 cruces.
b) La probabilidad de que salgan al menos 3 caras.

Esto se hace por el teorema de Bernoulli:

La probabilidad de sacar m cruces de n lanzamientos es:

P(m) = (ⁿ_m)·P(x)^m·P(c)^n-m

Digamos que esto sale de calcular que salgan tres X y tres caras en un orden determinado y se multiplica por las distintas posibilidades de escribrir tres X y tres C:

XXXCCC => (1/2)³·(1/2)³
XCXCXC => (1/2)³·(1/2)³

En total hay (⁶₃) = 6!/[3!·(6-3)!] = 20

o bien permutaciones con repetición de 6 elementos con 3 y 3 repetidos:

PR₆^3,3 = 6!/(3!·3!) = 20

En resumen: 20·(1/2)⁶

Al menos tres caras son: 3 o 4 o 5 o 6. Es mejor calcular el suceso contrario y hacer uno menos ese suceso (su probabilidad). El contrario es sacar 1 o 2 caras:

P(1C) + P(2C) = (⁶₁)·(1/2)⁶ + (⁶₂)·(1/2)⁶ =

6·(1/2)⁶ + 15·(1/2)⁶ = 21·(1/2)⁶

P(3C U 4C U 5C U 6C) = 1 - P(1C U 2C) = 1 - 21·(1/2)⁶

Gracias.