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A veces interesa relacionar dos números, es decir, asociar un número a otro. En termodinámica se asocia la longitud de una barra de hierro con la temperatura a la que está ésta, en arquitectura el grosor de una viga de hormigón con la carga que soporta, en la vida cotidiana se relacionan el tiempo hablado por teléfono móvil con dinero pagado por ello, etc, etc. A esta asociación de numeros con la condición de que un número no tenga dos o más asociados, se le denomina función. En realidad las fórmulas de física y química son funciones. Existen muchos tipos de funciones según su forma y expresión.

　　x → y (llamada f(x), función de x)

x es la variable independiente, y, la dependiente (de x)

En el caso de la barra: t → l(t) = l_o(1 + a·t)   [t temperatura, l longitud]

En el caso de caída libre de un cuerpo: t → v(t) = v_o - g·t   [t tiempo, v velocidad, g aceleración de la gravedad]

Cuando para un cierto valor de x no hay asociado ningún valor de y se dice que esa x no pertenece al dominio de la función. Es decir, el dominio de una función está compuesto por los valores de x que tienen imagen, f(x).

Dom f(x) = { x ∈ R / f(x) ∈ R} Funciones Reales de variable Real. Se lee, 'conjunto de números reales tal que sus imagenes son números reales'.

¿qué razones puede haber para que un número no tenga su correspondiente imagen? Pues que por ejemplo anule el denominador de la función en cuyo caso no existe f(x) pues no es posible dividir por cero (prueba a dividir por cero un número cualquiera con la calculadora). Otro caso es que haga una raíz par negativa (√(-4).

Ejemplo: y = 12/(x²-4)

La imagen del 1 es -4, la del 3 es 12/5, la del -1 es -4. Observa que dos valores distintos de la x tienen asociados la misma imagen (no puede ocurrir lo contrario).
Pero los valores de x = ±2 no tiene imagen, no perteneciendo, éstos, al dominio de la función. Dom f(x) = R - {±2}

Ejemplo: y = √(x - 4)

La x debe ser un número mayor o igual a 4 para que exista y. Dom f(x) = {x ∈ R / x ≧ 4} o [4, +∞) . Un corchete indica que contiene al extremo del intervalo, un paréntesis que no (el ∞ no es un número real).

Seguirá ...

Como puede verse en el grafo de la primera función, todos lo valores de x que sean distintos de 2 y de -2 tienen imagen. En estos puntos el denominador de la función tiende a cero y por tanto el cociente tiende a ±∞. Son asíntotas verticales ya que en ellas se cumple que:

Lim f(x) = ±∞
x → ±2

Por otro lado vemos que los valores comprendidos entre (-3,0] de f(x) no tienen original. Es decir, no son imagen de algún original. Este es el concepto de 'rango' o 'conjunto imagen' o 'recorrido'. En este caso estaría formado por todos los f(x) que tienen algún x como original. Para nuestro caso ∀ R - (-3,0]

En la segunda función vemos que existe para valores de x ≧ 4 , este es su dominio.
El recorrido o rango de esta función sería [0,∞). Esto indica que todo número real positivo tiene raíz. Aumenta a medida que aumenta x. Para x crecientes este aumento es cada vez menor (tiene menos pendiente).

La ciencia ha conseguido la función matemática que nos relaciona la distancia al centro de la Tierra con el peso de 1 kg masa (esto es la gravedad; lo que pesa un kg). Es un ejemplo típico de función (a trozos).

Observamos que en el punto (0,0) la gravedad es cero. Esto es razonable pues nos atrae toda la masa de la Tierra en todas las direcciones por igual. En el centro del planeta los cuerpos no tienen peso. A medida que nos alejamos de este punto vemos que la gravedad va aumentando linealmente, hasta alcanzar un valor máximo de 9,81 en la superficie (Rt). En la mitad del recorrido la gravedad es también la mitad. Ya estamos en la superficie, sigamos alejándonos del centro. Observamos como la g(r) disminuye de una manera muy rápida. Cuando estemos situados a dos veces el radio terrestre la gravedad habrá caído a la cuarta parte. También observamos que decrece constantemente pero nunca se hace cero (asíntota horizontal). Estés donde estés (excepto en su centro) la Tierra te atrae. A cuatro veces el radio la atracción es muy pequeña.

Su dominio es [0, ∞) y su recorrido [0, 9,81]. Esto quiere decir que la gravedad producida por nuestro planeta siempre estará comprendido entre estos valores, independientemente de donde te encuentres en el Universo.

No es poco lo que se puede aprender de las funciones si se las conoce.  

Se dice que una función es continua en x=a si:

Lim f(x) = Lim f(x) = f(a)
x→a^-　　　x→a⁺

Puede haber tres tipos de discontinuidad:

a) Evitable

Lim f(x) = Lim f(x) ≠ f(a)
x→a^-　　　x→a⁺

b) Salto finito

∃ Lim f(x) y Lim f(x) pero son distintos
　x→a^-　　　x→a⁺

Lim f(x) ≠ Lim f(x)
x→a^-　　　x→a⁺

c) Salto infinito

No ∃ alguno de los límites laterales (si da ∞ no tiene límite)
Es el caso de las asíntotas verticales.

Si quieres saber algo sobre las pendientes de las funciones te recomiendo que te pases por:

En x = 1 hay una discontinuidad "evitable" (a) porque:

Lim f(x) = Lim f(x) = 2 ≠ f(a) (que en este caso no existe)
x→1^-　　　x→1⁺

En x = 2 la discontinuidad es de "salto finito" (b) ya que los límites laterales a ambos lados de x = 2 existen (son números reales) pero  desiguales (3 y 6). La imagen de x = 2 es 6, es decir: f(2) = 6. Es continua por la derecha en x =2.

Por último, en x = -2 vemos que cuando nos acercamos a ese puntos por la izquierda, la función tiende a -∞ y por lo tanto no tiene límite. Por la derecha tiende y vale algo menos de -1. Es continua por la derecha de x = -2 y del tipo (c), "salto infinito" (asíntota)

En los puntos donde una función no es continua tampoco es derivable (no tiene pendiente).