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Le he dado bastantes vueltas y no hay manera. No me sale.

Dada la recta r:
2x - 2y + z = 3
2x - y = 2

Hallar el punto de corte con otra recta que pasa por P = (5,5,3) y que es perpendicular a r:

Hola,

La estrategia a seguir es la siguiente:

Pasa la recta a paramétrica.

1. Calcula el plano que pasa por P y es perpendicular a r. Para ello necesitas un punto (que lo tienes) y un vector normal al plano (el de la resta r)

2. Calcula el punto de corte de ambos (plano y recta)

3. Halla la recta que pasa por el punto de corte anterior y P. Esa es la recta buscada.

Después lo hago.

Ok. Gracias.

Yo lo he estado planteando buscando la recta que pasa por P y cuyo vector director (1,a,b) fuera perpendicular al de la recta dada,
sabiendo que su producto escalar es 0.

Probaré con este nuevo planteamiento.

No puedes buscar así porque hay infinitas rectas que pasan por el punto y son perpendiculares a r. Todas las contenidas en el plano que pasa por P y que es perpendicular a r.

Hay otra forma de hacer el problema usando el producto vectorial. Para ello pasamos primero la recta a paramétrica.

2x - 2y = 3 - z
2x - y = 2

2x - 2y = 3 - z
-2x + y = -2
--------------------
-y = 1 - z => y = -1 + z

2x - 2y = 3 - z
-4x + 2y = -4
------------------
-2x = -1 - z => x = ½ + ½·z

Hacemos z = 2t y queda las ecuaciones de la recta:

x = ½ + t
y = -1 + 2t
z = 2t

Para no trabajar con coordenadas con quebrados, voy a buscar otro punto de r. Para ello le doy a t el valos ½ y sale el punto (1, 0, 1)

Cambio la ecuación de la recta por:

x = 1 + t
y = 0 + 2t
z = 1 + 2t


Ahora buscamos el conjunto de vectores que van desde P (5,5,3) a un punto P' de r (1+t,2t,1+2t)

PP' = OP' - OP = (1+t, 2t, 1+2t) - (5, 5, 3) = (-4+t, -5+2t, -2+2t)

Este vector va desde P a un punto genérico de r P' y queremos que sea perpendicular al vector de r. Su producto escalar es cero:

(-4+t, -5+2t, -2+2t)·(1, 2, 2) = 0

De aquí sacamos t y lo sustituimos en la ecuación de r (paramétrica) y ya temenos el punto buscado.

9t - 18 = 0 => t = 2

Sustituimos en r:

(3, 4, 5)

Como la recta es:

x = 1 + t
y = 0 + 2t
z = 1 + 2t

El plano perpendicular a r que pasa por P es:

x + 2y + 2z + D = 0

por pasar por P(5, 5, 3):

x + 2y + 2z - 21 = 0

Este plano corta a r en (sustituimos la x, y, z de la recta en el plano):

(1 + t) + 2·(2t) + 2·(1 + 2t) - 21 = 0

9t - 18 = 0 => t = 2

El punto buscado es el (sustituye t = 2 en las ecuaciones de r)

(3, 4, 5)