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1. Dada la recta r: (x,y,z) = (5,-1,-4) + k (3,-1,2) indica dos rectas perpendiculares a r que pasen por el punto A = (0,0,1)

a)¿Cuantas rectas perpendiculares a r que pasan por el putno A?
b)¿Cuantas rectas cortan perpendiculares a r que pasan por el putno A?

2. Dada los puntos A(1,1,0) B(1,1,2) y C(1,-1,1)
a)Halla la ecuacion del plano que contiene al punto A y es perpendicular a la recta determinada por B y C


Gracias!

Si el plano es perpendicular a la recta, sus vectores son paralelos (el normal del plano y el de la recta). El vector que va de B a C, n = OC - OB =  (0,-2,-1) es paralelo al vector normal del plano, pues ambos puntos pertenecen a la recta dada, lo podemos tomar como normal del plano:

0x - 2y - z + D = 0

como tiene que pasar por A(1,1,0)

-2·1 + D = 0 => D = 2

Luego el plano es:

0x - 2y - z + 2 = 0

- 2y - z + 2 = 0

Calculemos un plano perpendicular a r que pase por A:

3x - y + 2z + D = 0

2·1 + D = 0 => D = -2

El plano es: 3x - y + 2z - 2 = 0 (Llamémosle π)

Toda recta contenida en este plano que pase por A es perpendicular a r (lineas amarilla). Si la recta está contenida en este plano, su vector será perpendicular al vector del plano (al normal), luego el producto escalar de ambos es cero:

Sea (x,y,z) el vector de las rectas buscadas (amarillas), como tiene que ser paralela al plano, este vector debe ser perpendicular al (3,-1,2), que es el vector de r, luego su producto escalar es cero:

(x,y,z)·(3,-1,2) = 3x - y + 2z = 0

Cualquier terna de coordenadas que cumpla esta ecuación será un vector perpendicular a r:

Elijamos x = 0 e y = 2 => z = 1

Un posible vector es: (0,2,1) como tiene que pasar por A = (0,0,1):

x = 0 + 0·t
y = 0 + 2·t
z = 1 + t

Si necesitas otra recta (el problema pide dos) dale otros valores a:

3x - y + 2z = 0

por ejemplo x = 1 y z = 0 => y = 3

otro vector es el (1,3,0). Otra recta perpendicular a r que pasa por A es:

x = 0 + t
y = 0 + 3t
z = 1 + 0t



Para el segundo apartado tenemos que calcular una recta que pase por A y que corte a r.

Hemos calculado un plano que contiene a A y es perpendicular a r es este (el π):

3x - y + 2z - 2 = 0

Este plano corta a r en P (ver dibujo) (sustituimos la resta r en el plano para determinar k):

3(5+3k) - (-1-k) + 2(-4+2k) -2 = 0

k = -3/7

Luego el punto de corte de recta y plano es:

(x,y,z) = (5,-1,-4) + (-3/7)·(3,-1,2) Este es el punto P

Para terminar, calcula la recta que pasa por A y por ese punto P (x,y,z) (una vez calculado), para ello utilizamos el punto A y el vector AP = OP - OA (el verde en el dibujo. El punto O no está representado, se me olvidó pintar los ejes cartesianos   ).

Esa recta pasa por A y corta perpendicularmente a r. Sólo hay una.

Lolo, si no estiendes algo, lo comentas.