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Hola a ver si pueden ayudarme con este ejercicio:

Calcular el ángulo para el alcance máximo de una partícula que es lanzada con una velocidad de 14 m/s desde un edificio de 20 m de altura (estos son los únicos datos que nos dan)
Creo que el angulo es 45º pero necesito una manera de demostrarlo.

Espero q puedan ayudarme, GRACIAS

Siempre que te piden alcance máximo, el ángulo siempre va a ser 45º, ya que ni es muy alto ni es muy bajo, pero ahora mismo no sabría como demostrarlo.

Quizas, sacando las ec. del movimiento:

a(t)= -9.8 j
v(t)= -9.8·t j + v₀·senα j + v₀·cosα i

en el momento inicial, la velocidad es 14 m/s

v(0)= 14= 0 j + v₀·senα j + v₀·cosα i
14/14= senα j + cosα i

total... que no se  

Hola Daniel, aquí lo tienes hecho:

Que mal se me dio este movimiento en su momento

Para probar que el alcance es máximo para un ángulo de 45º habría que resolver (ecuación de la trayectoria):

y(x) = yo + Voy·(x/Vox) - ½·g·(x/Vox)² = 0

yo + x·(Voy/Vox) - g·x²/(2·Vox²) = 0

g·x²/(2·Vox²) - x·(Voy/Vox) - yo = 0

donde Vox = Vo·cos α ; Voy = Vo·sen α => Voy/Vox = tg α

g·x²/(2·Vo²·cos² α) - x·tg α - yo = 0

La solución de esta ecuación no tiene buena pinta:

-b ± √b² - 4·a·c
------------------- = x =
　　　　2·a

donde a = g/(2·Vo²·cos² α) ; b = -tg α ; c = -yo

　　tg α ± √tg²α + 4·g·yo/(2·Vo²·cos² α)
= ---------------------------------------------
　　　　　　g/(Vo²·cos² α)

Ahora tocaría probar que eso es máximo si α = 45º pero se ve feo.

Tiene que haber otra forma más fácil de hacerlo. Desde luego si hacemos yo = 0 el problema se simplifica bastante como habrás visto en el mensaje enlazado.

Se me ocurre que derivando eso respecto de α e igualando a cero (máximos y míminos de una función). Pero sigue teniendo mala pinta.

A ver si mañana se me ocurre algo más ingenioso  

Gracias por ayudarme, me sirvio mucho