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Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva y=x²-4x+4 que sea perpendicular a la recta que pasa por los puntos A(1,2) y B(-1,3).

Bueno pues este ejercicio me salió en un examen que tuve el martes y era voluntario (sólo había que hacerlo si ya habías acabado todos los ejercicios) y no pude hacerlo porque el tiempo me fue justo para los otros. Pero ahora intentándolo hacer en casa me ha surgido una duda porque al representar las 2 funciones lineales con el WINFUN a simple vista no veo que sean perpendiculares.


Lo primero que he hecho ha sido calcular la derivada de f(x) y me sale:
y´=2x-4

Según la definición de función lineal: y=mx+n, en y´ la pendiente es 2. Como buscamos una perpendicular a esta recta, su pendiente tiene que ser opuesta e inversa: m=-1/2

Con los 4 puntos aplico la ecuación continua de la recta y me sale la ecuación y=(-x+5)/2

Ahora para calcular la recta tangente perpendicular a esta aplico otra vez la ecuación continua.
Para Xo he dicho que el valor será el que resulte de anular la derivada=>y´=0=>x=2
Para Yo he dicho que es el valor de y´para x=0=>y=-4

Pues bien aplico la ecuación continua de la recta y me sale que la recta tiene que ser y=2x-8


Un saludo.

El vector que pasa por ambos puntos es el (-1,3)-(1,2) = (-2,1)

Un vector perpendicular a este es el (1,2) que tiene de pendiente 2/1 = 2

La pendiente tiene que ser 2. ¿en qué punto, la curva tiene pendiente 2 (derivada)?

y' = 2x - 4 = 2 => x = 3. El punto es (3,f(3)) = (3,1)

La recta tangente tiene la forma y = m·x + n = 2·x + n

Para que pase por el punto (3,1)

1 = 2·3 + n => n = -5

La recta tangente perpendicular a la recta que pasa por los dos puntos dados es:

y = 2·x - 5

¿Dónde está el error?  

Ha sido error mio por no escribir todo cuando hice en casa el ejercicio. Nuestro profesor siempre pone antes que nada m=f´(x)=y´= a lo que sea  y claro entonces yo he tomado que la pendiente en el determinado punto era el coeficiente de la x, cuando en verdad es el valor de y´ para una determinada x (que es como lo has hecho tú). Ahora he vuelto a repetir el ejercicio y me ha salido tu resultado.
Como tengo una fotocopia con unos 40 ejercicios de geometría y derivadas, si eso pondré algún problema aquí para ver si tengo bien la respuesta.
Gracias por la ayuda Galilei.
Un saludo.

p.d.: Este ejercicio es de 1º de Bachiller porque yo estoy cursando 1º. No sé si has puesto 2º porque el ejercicio se corresponde a ese nivel (si es así me alegro de que en el colegio nos manden ejercicios así para estar bien preparados para la PAU), así que no toco nada y si eso pues ya lo cambiarás o no.