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Nuevamente quiero pedir ayuda en este problema, realmente no se me da analizar demasiado un problema razonado, prefiero mucho mas que me den una ecuacion y resolverla a tener que plantearlo yo mismo :/

El problema es:

Encuentre tres numeros positivos cuya suma sea 100 y cuyo producto sea maximo


Les agradezco de antemano su atencion

Encuentre tres numeros positivos cuya suma sea 100 y cuyo producto sea maximo

x+y+z = 100 => z = 100 - x - y

F(x,y) = x·y·z = x·y·(100-x-y) = 100xy - x²y - xy²

∂F/∂x = 100y - 2xy - y² = 0

∂F/∂y = 100x - 2xy - x² = 0

Resolvemos (cambiamos de signo una y sumamos):

100(y-x) + x² - y² = 0

100(y-x) - (y² - x²) = 0

100(y-x) - (y-x)(y+x) = 0 (sacamos factor común y-x)

(y-x)·(100 - y - x) = 0

Una posible solución para que de cero es que y=x

La otra es que x+y=100 (no vale porque dice tres números, el tercero debería ser el 0 pero entonces el producto daría cero)

Sustituimos en, por ejemplo, ∂F/∂x = 100y - 2xy - y² = 0 (y=x)

100x - 2x² - x² = 100x - 3x² = x·(100 - 3x) = 0 => x = y = 100/3

z = 100 - 200/3 = 100/3

El máximo sería (100/3)³

Quizás esto te ayude:

Funciones de varias variables (zweigmedia.com)

Muchas gracias por su ayuda. Si, en efecto la respuesta si es 100/3 para las 3 variables.
Ademas la pagina que me envio me servira mucho para poder estudiar para mi examen proximo viernes :) muchas gracias.

Hola Ernest, ahora habría que probar que es un máximo (cosa que te explica en el enlace que te puse). En este caso es evidente que lo es pero, en general, hay que hacerlo.

Si, sutituyendo el valor de las variables en la funcion original y comparando el valor resultante con otro que resulta de la sustitucion en la funcion original de un punto cercano al punto critico. Esto tambien se hace con funciones restringidas usando Lagrange jaja :) ya tuve mi examen parcial el dia de hoy y me fue de lujo :)

Pues, felicidades