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Se trata de una cuestión.

Si F(x) es una primitiva de f(x)

¿Es verdad que [F(x)]² es una primitiva de [f(x)]²?

La respuesta obviamente es que es falso, pero no se como justificarlo matemáticamente.

Si F(x) es una primitiva de f(x) ⇒ ∫f(x)dx = F(x)

entonces... ∫f²(x)dx = ∫f(x)f(x)dx ≠ F²(x)=F(x)F(x)

no se como justificarlo matematicamente. Esto no creo que sea suficiente.

Un saludo y gracias.

La primitiva de x es x²/2

La de x² es x³/3

Como se ve una no es el cuadrado de la otra.

Hay una función que no cumple la afirmación, luego es falsa. En mates basta buscar un ejemplo que no cumpla la hipótesis para echarla por tierra.

Ya, ese ejemplo ya lo puse, pero me gustaria demostrarlo mediante razonamiento matematico, aunque ya se que basta con que un ejemplo no lo cumpla para decir que no es cierto.

Bueno, otra posible forma:

La primitiva es 'lo contrario' de la diferencial (derivada en el caso que nos ocupa).

La integral de una suma es la suma de sus integrales, y es así porque la derivada tiene esta propiedad.

La integral de una cte por una función es la cte por la integral de la función porque también es cierto para las derivadas.

Pero la derivada del cuadrado de una función no es el cuadrado de su derivada.

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Esta es la forma irrefutable:

Supongamos que la integral de:

∫F(x)·dx = f(x) => f'(x) = F(x)　　 [1*]

Supongamos cierto que:

∫F²(x)·dx = f²(x)

Hagamos la derivada de f²(x):

(f²(x))' = 2·f(x)·f'(x) = F²(x)

Pero F²(x) (por 1*) debería ser (f'(x))² ≠ 2·f(x)·f'(x)

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Nota:

(f'(x))² = 2·f(x)·f'(x)

Esto sólo es cierto si f(x) = ½·f'(x) (condición para que sea verdad lo que propone el problema)

cosa que cumple:

∫e^2x = ½·e^2x
∫e^4x = (1/4)·e^4x (esta es el cuadrado de la anterior)

Gracias!