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Probar por inducción que:

Probemos que es cierto para n=1

que también lo es para n=2

Supongamos que lo es para n-1

_n-1
∑ 1/(i²+i) = (n-1)/[(n-1)+1] = (n-1)/n
ⁱ⁼¹

Demostremos que se cumple para n:

_{n　　　　　　n-1}
∑ 1/(i²+i) = ∑ 1/(i²+i) + 1/(n²+n) = (n-1)/n + 1/(n²+n) = (n-1)·(n+1)/[n·(n+1)] + 1/[n·(n+1)]=
^{i=1　　　　　i=1}

(n²-1)/[n·(n+1)] + 1/[n·(n+1)] = [(n²-1)+1]/[n·(n+1)] = n²/(n·(n+1)) = n/(n+1)

Nota:

Lo que hemos hecho es sumarle el término n-1 el término n que es:

1/(n²+n) que sale dando a i el valor n en la sumatoria.