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hola.. no se si este ejercicio se resuelve empleando multiplicadores de lagrange o solo calculando simplemente los estremos relativos y/o absolutos .. en fin queria q me ayuden a resolverlo ..gracias


la funcion T(x,y,z)= 2x+y+2z representa la temperatura en cada punto de  la esfera de ecuacion x²+y²+z²=4 . hallar las temperaturas maxima y minima sobre dicha esfera

Antes ver:

Funciones de varias variables (zweigmedia.com)

T(x,y,z) = 2x + y + 2z

x² + y² + z² = 4   =>   z = √(4 - x² - y²)

T(x,y,z) = 2x + y + 2√(4 - x² - y²)

∂T/∂x = 2 - x/(√(4 - x² - y²) = 0

∂T/∂y = 1 - y/(√(4 - x² - y²) = 0

Resolvemos:

√(4 - x² - y²) = x/2
√(4 - x² - y²) = y               =>     y = x/2    =>    x = 2y

Sustituimos en:

1 - y/(√(4 - x² - y²) = 0            x = 2y

1 - y/(√(4 - 4y² - y²) = 0    =>    1 - y/(√(4 - 5y²) = 0

1 = y/(√(4 - 5y²)           elevamos al cuadrado:

1 = y²/(4 - 5y²)        =>     4 - 5y² - y² = 0    =>    4 - 6y² = 0    =>   y = ±√2/3

Para y = √2/3   =>    x = 2y   =>     x = 2√2/3    =>   z = √(4 - x² - y²)   =>  

z = √(4 - 8/9 - 2/9) = √(26/9) = √26/3

Para y = -√2/3    =>   x = -2√2/3    =>    z = √26/3

Falta aplicar los criterior para ver si son máximos o mínimos:

Ver también:



Repasar las operaciones.